Определить радиус кривизны окружности

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика

Для решения задачи определим радиус кривизны окружности. Закон движения точки по окружности задан как S = 4t^3 - 2t^2. Дано:

• Время t = 1 \, \text{с},
• Тангенциальное ускорение a_t = 16 \, \text{м/с}^2.

Формула радиуса кривизны окружности:
 R = \frac{v^2}{a_n}, 
где v — скорость точки, a_n — нормальное ускорение.

Нормальное ускорение связано с тангенциальным ускорением a_t и полным ускорением a через формулу:
 a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}. 

Шаг 1. Найдём скорость v.

Скорость — это первая производная пути S по времени t:
 v = \frac{dS}{dt}. 

Дано S = 4t^3 - 2t^2. Производная:
 v = \frac{d}{dt}(4t^3 - 2t^2) = 12t^2 - 4t. 

Подставим t = 1 \, \text{с}:
 v = 12(1)^2 - 4(1) = 12 - 4 = 8 \, \text{м/с}. 

Шаг 2. Найдём полное ускорение a.

Полное ускорение — это сумма тангенциального и нормального ускорений:
 a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}. 

Нормальное ускорение выражается через скорость:
 a_n = \frac{v^2}{R}. 

Подставим a_t = 16 \, \text{м/с}^2 в формулу полного ускорения:
 a = \sqrt{16^2 + a_n^2}. 

Шаг 3. Выразим радиус кривизны R.

Из формулы a_n = \frac{v^2}{R} выразим R:
 R = \frac{v^2}{a_n}. 

Для нахождения a_n используем формулу полного ускорения:
 a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2}. 

Подставим данные и вычислим:
 a = \sqrt{16^2 + \left(\frac{8^2}{R}\right)^2}.