Определить полное ускорение точки, находящейся на ободе колеса, в момент времени 3 с

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика вращательного движения

Задача: Определить полное ускорение точки, находящейся на ободе колеса, в момент времени 3 с. Также требуется изобразить векторы скоростей и ускорений (линейных и угловых).

Дано:

• Радиус колеса \( R = 0.5 \, м \);
• Закон изменения угла поворота радиуса колеса: \( \varphi = A \cdot t + B \cdot t^3 \), где:
• \( A = 2 \, \text{с}^{-1} \);
• \( B = 0.2 \, \text{с}^{-2} \);
• \( \varphi \) — угол поворота.
• Время \( t = 3 \, с \).

Искать:

• Полное ускорение точки на ободе колеса в момент времени \( t = 3 \, с \), включающее тангенциальное (касательное) и нормальное (центростремительное) ускорение.
• Векторы скоростей и ускорений.

Решение:

1. Найдем угловую скорость \( \omega \). Угловая скорость \( \omega \) — это первая производная угла поворота \( \varphi \) по времени: \[ \omega = \frac{d\varphi}{dt} \] Для данного уравнения \( \varphi = A \cdot t + B \cdot t^3 \): \[ \omega = \frac{d}{dt} \left(A \cdot t + B \cdot t^3\right) = A + 3B \cdot t^2 \] Подставим значения \( A = 2 \, \text{с}^{-1} \), \( B = 0.2 \, \text{с}^{-2} \), и \( t = 3 \, с \): \[ \omega = 2 + 3 \cdot 0.2 \cdot 9 = 2 + 5.4 = 7.4 \, \text{рад/с} \]
2. Найдем угловое ускорение \( \varepsilon \). Угловое ускорение \( \varepsilon \) — это вторая производная угла поворота \( \varphi \) по времени: \[ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2} \] Возьмем вторую производную от \( \varphi = A \cdot t + B \cdot t^3 \): \[ \varepsilon = \frac{d}{dt} \left( A + 3B \cdot t^2 \right) = 6B \cdot t \] Подставим значения \( B = 0.2 \, \text{с}^{-2} \) и \( t = 3 \, \text{с} \): \[ \varepsilon = 6 \cdot 0.2 \cdot 3 = 3.6 \, \text{рад/с}^2 \]
3. Найдем линейную скорость \( v \). Линейная скорость точки на ободе колеса связана с угловой скоростью следующим образом: \[ v = \omega \cdot R \] Подставим найденное значение угловой скорости \( \omega = 7.4 \, \text{рад/с} \) и радиус \( R = 0.5 \, м \): \[ v = 7.4 \cdot 0.5 = 3.7 \, \text{м/с} \]
4. Найдем тангенциальное (касательное) ускорение \( a_{\tau} \). Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением следующим образом: \[ a_{\tau} = \varepsilon \cdot R \] Подставим найденное значение углового ускорения \( \varepsilon = 3.6 \, \text{рад/с}^2 \) и радиус \( R = 0.5 \, м \): \[ a_{\tau} = 3.6 \cdot 0.5 = 1.8 \, \text{м/с}^2 \]
5. Найдем нормальное (центростремительное) ускорение \( a_{n} \). Нормальное ускорение связано с угловой скоростью следующим образом: \[ a_{n} = \omega^2 \cdot R \] Подставим значение угловой скорости \( \omega = 7.4 \, \text{рад/с} \) и радиус \( R = 0.5 \, м \): \[ a_{n} = 7.4^2 \cdot 0.5 = 54.76 \cdot 0.5 = 27.38 \, \text{м/с}^2 \]
6. Найдем полное ускорение \( a \). Полное ускорение — это векторная сумма нормального и тангенциального ускорений: \[ a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_{n}^2} \] Подставим значения \( a_{\tau} = 1.8 \, \text{м/с}^2 \) и \( a_{n} = 27.38 \, \text{м/с}^2 \): \[ a = \sqrt{1.8^2 + 27.38^2} = \sqrt{3.24 + 749.35} = \sqrt{752.59} \approx 27.43 \, \text{м/с}^2 \]

Ответ:

Полное ускорение точки на ободе колеса в момент времени 3 с равно приблизительно \( 27.43 \, \text{м/с}^2 \).

Изображение векторов:

• Вектор угловой скорости \( \omega \) направлен перпендикулярно плоскости вращения, по правилу правой руки (вверх или вниз в зависимости от направления вращения).
• Линейная скорость \( v \) направлена по касательной к траектории вращения.
• Тангенциальное ускорение \( a_{\tau} \) направлено по касательной, совпадает по направлению с изменением линейной скорости (если скорость увеличивается — вдоль скорости).
• Нормальное ускорение \( a_n \) направлено к центру вращения (вдоль радиуса).