Определить параметры прямой, описывающей зависимость от h

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика

Задача:

Определить параметры прямой, описывающей зависимость  от h в виде  = K \cdot h + B, где K — угловой коэффициент, а B — отрезок, отсекаемый прямой на оси Y.

Дано:

1. Проходимый грузом путь h = H - E, м:
   h = [0.07, 0.09, 0.12, 0.13, 0.19]

2. Округленные значения квадратов времени , с²:
    = [3.76, 4.47, 6.3, 6.68, 10]

Решение:

Для нахождения параметров K и B воспользуемся методом линейной регрессии. Уравнение прямой:
y = K \cdot x + B, где:

• x = h,
• y = .

Формулы для вычисления:

1. Угловой коэффициент K:
   K = \frac{n \cdot \sum(x_i \cdot y_i) - \sum x_i \cdot \sum y_i}{n \cdot \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}

2. Отрезок B:
   B = \frac{\sum y_i - K \cdot \sum x_i}{n}

Где:

• n — количество точек,
• \sum x_i, \sum y_i — суммы значений x и y,
• \sum(x_i \cdot y_i) — сумма произведений x и y,
• \sum x_i^2 — сумма квадратов x.

Шаг 1. Найдем необходимые суммы:

1. \sum x_i = 0.07 + 0.09 + 0.12 + 0.13 + 0.19 = 0.6
2. \sum y_i = 3.76 + 4.47 + 6.3 + 6.68 + 10 = 31.21
3. \sum x_i^2 = 0.07^2 + 0.09^2 + 0.12^2 + 0.13^2 + 0.19^2 = 0.0049 + 0.0081 + 0.0144 + 0.0169 + 0.0361 = 0.0804
4. \sum(x_i \cdot y_i) = 0.07 \cdot 3.76 + 0.09 \cdot 4.47 + 0.12 \cdot 6.3 + 0.13 \cdot 6.68 + 0.19 \cdot 10 = 0.2632 + 0.4023 + 0.756 + 0.8684 + 1.9 = 4.19

Шаг 2. Найдем K:

Подставим значения в формулу:
K = \frac{n \cdot \sum(x_i \cdot y_i) - \sum x_i \cdot \sum y_i}{n \cdot \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}

K = \frac{5 \cdot 4.19 - 0.6 \cdot 31.21}{5 \cdot 0.0804 - (0.6)^2}

Выполним вычисления:

• Числитель: 5 \cdot 4.19 - 0.6 \cdot 31.21 = 20.95 - 18.726 = 2.224,
• Знаменатель: 5 \cdot 0.0804 - 0.36 = 0.402 - 0.36 = 0.042,

K = \frac{2.224}{0.042} \approx 52.95.

Шаг 3. Найдем B:

B = \frac{\sum y_i - K \cdot \sum x_i}{n}

B = \frac{31.21 - 52.95 \cdot 0.6}{5}

Выполним вычисления:

• Числитель: 31.21 - 31.77 = -0.56,
• Знаменатель: 5,

B = \frac{-0.56}{5} = -0.112.

Ответ:

• K \approx 52.95,
• B \approx -0.112.