Определить единицы измерения у элементов, присутствующих в уравнении движения и формулах для нахождения корней

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика (движение материальной точки)

Задание:

Определить единицы измерения у элементов, присутствующих в уравнении движения и формулах для нахождения корней.

Анализ уравнения движения:

Дано уравнение траектории:

y = ax^3 + bx + c     (1)

Здесь:

• y — координата по вертикали (высота),
• x — координата по горизонтали (время или расстояние, зависит от контекста),
• a, b, c — коэффициенты.

Единицы измерения:

Предположим, что x — это координата (в метрах), тогда:

1. Коэффициенты:

• ax^3 должен иметь ту же размерность, что и y, т.е. [м]

  Значит: [a] = \frac{м}{м^3} = м^{-2}

• bx также должен иметь размерность [м], тогда:

  [b] = \frac{м}{м} = 1 (безразмерная величина)

• c — свободный член, имеет размерность [м]

Формулы для корней (пересечения с осью абсцисс):

x_1 = 2 \cdot \sqrt{\frac{P}{3}} \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{3}\right)   (2)
x_2 = -2 \cdot \sqrt{\frac{P}{3}} \cdot \cos\left(\frac{\alpha + \pi}{3}\right)   (3)
x_3 = -2 \cdot \sqrt{\frac{P}{3}} \cdot \cos\left(\frac{\alpha - \pi}{3}\right)   (4)

Значит:

• x_1, x_2, x_3 — координаты по оси x, имеют размерность [м]

• \cos — функция от безразмерного аргумента, значит \frac{\alpha}{3} — безразмерный угол в радианах, следовательно:

  [\alpha] = 1 (безразмерная величина)

• \sqrt{\frac{P}{3}} также имеет размерность [м], т.к. она умножается на косинус и получается [м], следовательно:

  \left[\sqrt{\frac{P}{3}}\right] = м → [P] = м^2

Формулы для \alpha, P, g:

\alpha = \arccos\left( \frac{g}{2 \cdot \sqrt{\left(\frac{P}{3}\right)^3}} \right)   (5)
P = \frac{b}{a}, \quad g = \frac{c}{a}   (6)

Анализ размерностей:

• [P] = \frac{[b]}{[a]} = \frac{1}{м^{-2}} = м^2 — совпадает с ранее найденным
• [g] = \frac{[c]}{[a]} = \frac{м}{м^{-2}} = м^3

Теперь проверим аргумент функции \arccos:

\frac{g}{2 \cdot \sqrt{\left(\frac{P}{3}\right)^3}}

• [g] = м^3
• \left[\left(\frac{P}{3}\right)^3\right] = (м^2)^3 = м^6
• \sqrt{м^6} = м^3

→ В итоге, аргумент \arccos — безразмерный, всё корректно.

Итоговая таблица размерностей:

Если нужно, могу также построить схему или график для наглядности.