Найти величину самого тангенциального ускорения

Определение предмета задачи и раздела

Это задача из физики, раздел кинематика вращательного движения. Она связана с движением точки по окружности с постоянным тангенциальным ускорением, и требуется найти величину самого тангенциального ускорения.

Решение задачи

Дано:

• Радиус окружности \( R = 0{,}1 \, \text{м}\).
• Скорость точки после пятого оборота \( v = 79{,}2 \, \text{см/с} = 0{,}792 \, \text{м/с} \).
• Количество оборотов \( N = 5 \).
• Тангенциальное ускорение \( a_{tang} \) постоянное.

Найти:

Тангенциальное ускорение \( a_\text{tang} \).

План решения:

1. Установим связь между угловой и линейной кинематикой.
2. Используем формулу для угловой скорости и линейного ускорения.
3. Найдем полное расстояние, пройденное точкой по окружности за 5 оборотов, и выразим ускорение через путь.
4. Решим уравнение для тангенциального ускорения.

Шаг 1: Связь линейной и угловой физики

При движении по окружности линейная скорость \( v \) и угловая скорость \( \omega \) связаны формулой:

\[ v = R \cdot \omega \]

Где:

• \( v \) — линейная скорость точки,
• \( R \) — радиус окружности,
• \( \omega \) — угловая скорость.

Шаг 2: Пройденный угол за N оборотов

Каждый оборот по окружности соответствует углу в \( 2\pi \) радиан. Таким образом, за \( N = 5 \) оборотов точка пройдет угловое расстояние:

\[ \theta = 2\pi \cdot N = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \, \text{рад}. \]

Шаг 3: Учитываем постоянное тангенциальное ускорение

При вращении с постоянным тангенциальным ускорением угловая скорость \( \omega \) меняется со временем по формуле аналогичной линейному ускорению:

\[ \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha \theta \]

Где:

• \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость (в нашем случае \( \omega_0 = 0 \), так как точка начинает движение с покоя),
• \( \alpha \) — угловое ускорение,
• \( \theta \) — угол поворота.

Подставляя \( \omega = \frac{v}{R} \), мы получаем связь:

\[ \left(\frac{v}{R}\right)^2 = 2 \alpha \theta \]

Шаг 4: Выражение для углового и тангенциального ускорения

Теперь можем выразить угловое ускорение \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{v^2}{2R^2\theta} \]

Подставляем данные задачи:

\[ \alpha = \frac{(0{,}792)^2}{2 \cdot (0{,}1)^2 \cdot 10\pi} = \frac{0{,}627}{0{,}2 \cdot 10\pi} \approx \frac{0{,}627}{6{,}283} \approx 0{,}1 \, \text{рад/с}^2 \]

Тангенциальное ускорение \( a_\text{tang} \) связано с угловым ускорением \( \alpha \) через радиус окружности:

\[ a_\text{tang} = \alpha R \]

Подставляем значения:

\[ a_\text{tang} = 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01 \, \text{м/с}^2. \]

Ответ:

Тангенциальное ускорение точки равно \( 0{,}01 \, \text{м/с}^2 \).