Найти в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) пройденный путь

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика

Условие задачи:

Материальная точка движется вдоль прямой с линейно увеличивающимся ускорением. За первые 10 секунд ускорение достигает значения 5 м/с². Необходимо найти:

1. Скорость точки в конце 10-й секунды.
2. Пройденный путь за 10 секунд.

Решение:

1. Определим зависимость ускорения от времени:
   Ускорение линейно растет, значит, его можно представить как:
   a(t) = k \cdot t,
   где k — коэффициент пропорциональности.

   По условию, за 10 секунд ускорение достигает значения 5 м/с², то есть:
   a(10) = 5 \, \text{м/с}^2.
   Подставим в уравнение:
   5 = k \cdot 10.
   Отсюда:
   k = 0{,}5 \, \text{м/с}^3.

   Таким образом, зависимость ускорения от времени:
   a(t) = 0{,}5 \cdot t.

2. Найдем скорость точки в конце 10-й секунды:
   Скорость — это интеграл от ускорения:
   v(t) = \int a(t) \, dt = \int 0{,}5 \cdot t \, dt.
   Вычислим интеграл:
   v(t) = 0{,}5 \cdot \frac{t^2}{2} + C = 0{,}25 \cdot t^2 + C.

   Так как начальная скорость равна нулю (v(0) = 0), то C = 0.
   Тогда:
   v(t) = 0{,}25 \cdot t^2.

   В конце 10-й секунды:
   v(10) = 0{,}25 \cdot 10^2 = 0{,}25 \cdot 100 = 25 \, \text{м/с}.

3. Найдем пройденный путь за 10 секунд:
   Путь — это интеграл от скорости:
   S(t) = \int v(t) \, dt = \int 0{,}25 \cdot t^2 \, dt.
   Вычислим интеграл:
   S(t) = 0{,}25 \cdot \frac{t^3}{3} + C = \frac{0{,}25 \cdot t^3}{3} + C.

   Так как начальный путь равен нулю (S(0) = 0), то C = 0.
   Тогда:
   S(t) = \frac{0{,}25 \cdot t^3}{3} = \frac{t^3}{12}.

   За 10 секунд:
   S(10) = \frac{10^3}{12} = \frac{1000}{12} \approx 83{,}33 \, \text{м}.

Ответ:

1. Скорость точки в конце 10-й секунды: 25 \, \text{м/с}.
2. Пройденный путь за 10 секунд: 83{,}33 \, \text{м}.