Найти, в какое ближайшее время достигается амплитудное значение ускорения

Задача относится к предмету физики, разделу "Кинематика".

Анализ задачи:

Уравнение движения точки \( x = \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \) задает положение точки как функцию времени. Нас просят найти, в какое ближайшее время достигается амплитудное значение ускорения.

Шаг 1: Найдем скорость как производную от координаты

Для начала нам нужно найти скорость \( v(t) \), взяв первую производную от положения по времени \( t \):

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} \]

Позиция дана как:

\[ x(t) = \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \]

Берем производную от этого выражения:

\[ v(t) = \frac{d}{dt} \left( \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right) \]

Используя правило цепочки, когда производной от \( \sin(u) \) является \( \cos(u) \), и потом домножаем на производную от аргумента \( u = \frac{\pi t}{6} \):

\[ v(t) = \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \times \frac{\pi}{6} \]

Таким образом, скорость будет равна:

\[ v(t) = \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \]

Шаг 2: Найдем ускорение как производную от скорости

Теперь найдем ускорение \( a(t) \), взяв вторую производную от положения (или производную от скорости):

\[ a(t) = \frac{dv}{dt} \]

Найдем производную от скорости:

\[ a(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \right) \]

Вновь применяем правило цепочки. Производная от \( \cos(u) \) — это \( -\sin(u) \), и домножаем на производную от аргумента \( u = \frac{\pi t}{6} \):

\[ a(t) = -\frac{\pi}{6} \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \times \frac{\pi}{6} \]

Это будет:

\[ a(t) = -\frac{\pi^2}{36} \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \]

Шаг 3: Амплитудное значение ускорения

Амплитудное значение ускорения — это максимальное значение модуля ускорения. Поскольку функция \( \sin \) колеблется в диапазоне от -1 до 1, наибольшее значение модуля ускорения будет равно:

\[ a_{\text{max}} = \frac{\pi^2}{36} \]

Шаг 4: Определим время, когда ускорение достигает амплитуды

Мы знаем, что максимальное ускорение достигается, когда \( \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = \pm 1 \). Соответственно, решим уравнение:

\[ \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 1 \]

Аргумент \( \frac{\pi t}{6} \) должен быть равен \( \frac{\pi}{2} \), так как \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \):

\[ \frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2} \]

Решим это уравнение:

\[ t = \frac{6}{2} = 3 \]

Ответ:

Ближайшее время, когда ускорение достигает своего амплитудного значения, равно \(\ t = 3\ \) секунды.