Найти угловое перемещение, угловую скорость, угловое ускорение и полное линейное ускорение точки

Предмет: Физика Раздел: Кинематика вращательного движения твердых тел

В этом задании нужно найти угловое перемещение, угловую скорость, угловое ускорение и полное линейное ускорение точки, расположенной на диске, вращающемся вокруг оси, проходящей через его центр масс. Формула зависимости угла поворота от времени дана в виде: \[ \varphi(t) = 6 - 2t + t^2 + 0.1t^3 \, (\text{в радианах}). \]

Дано:

• \(\varphi(t) = 6 - 2t + t^2 + 0.1t^3\) рад,
• \(t_1 = 2 \, \text{с}\),
• Расстояние от оси \(r = 0.5 \, \text{м}\),
• Линейная скорость \(v = 6 \, \text{м/с}\).

Разберём решение по пунктам:

a) Найти угловое перемещение \(\varphi(t_1)\), то есть угол поворота к моменту времени \(t_1 = 2 \, \text{с} \).

Подставим \(t_1 = 2 \, \text{с}\) в уравнение для \(\varphi(t)\):

\[ \varphi(2) = 6 - 2 \cdot 2 + 2^2 + 0.1 \cdot 2^3 = 6 - 4 + 4 + 0.1 \cdot 8 = 6. \]

Таким образом, угловое перемещение к моменту времени \(2 \, \text{с}\) равно: \(\varphi(2) = 6 \, \text{рад}\).

б) Найти угловую скорость \(\omega(t_1)\).

Угловая скорость \(\omega(t)\) — это первая производная углового перемещения \(\varphi(t)\) по времени:

\[ \omega(t) = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d}{dt} \left( 6 - 2t + t^2 + 0.1t^3 \right). \]

Вычислим производную:

\[ \omega(t) = 0 - 2 + 2t + 0.1 \cdot 3t^2 = -2 + 2t + 0.3t^2. \]

Теперь подставим \(t = 2 \, \text{с}\):

\[ \omega(2) = -2 + 2 \cdot 2 + 0.3 \cdot 2^2 = -2 + 4 + 0.3 \cdot 4 = -2 + 4 + 1.2 = 3.2 \, \text{рад/c}. \]

в) Найти угловое ускорение \(\varepsilon(t_1)\).

Угловое ускорение \(\varepsilon(t)\) — это первая производная угловой скорости или вторая производная углового перемещения по времени:

\[ \varepsilon(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt} \left(-2 + 2t + 0.3t^2\right). \]

Вычислим производную:

\[ \varepsilon(t) = 0 + 2 + 0.6t. \]

Теперь подставим \(t = 2 \, \text{с}\):

\[ \varepsilon(2) = 2 + 0.6 \cdot 2 = 2 + 1.2 = 3.2 \, \text{рад/c}^2. \]

г) Найти полное линейное ускорение точки на диске, находящейся на расстоянии \(r = 0.5 \, \text{м}\), в момент, когда её линейная скорость \(v = 6 \, \text{м/c}\).

1. Свяжем линейную и угловую скорости через формулу:

\[ v = \omega r, \]

где \(v = 6 \, \text{м/с}\) и \(r = 0.5 \, \text{м}\). Найдём угловую скорость \(\omega\):

\[ 6 = \omega \cdot 0.5, \]

\[ \omega = \frac{6}{0.5} = 12 \, \text{рад/с}. \]

Теперь найдём полное линейное ускорение:

Полное линейное ускорение точки состоит из двух компонент:

1. Тангенциальное ускорение \(a_{\tau} = \varepsilon r\),
2. Центростремительное ускорение \(a_{\text{цс}} = \omega^2 r\).

Найдём каждую из компонент:

1. Тангенциальное ускорение: \[ a_{\tau} = \varepsilon r = 3.2 \cdot 0.5 = 1.6 \, \text{м/с}^2. \]
2. Центростремительное ускорение: \[ a_{\text{цс}} = \omega^2 r = 12^2 \cdot 0.5 = 144 \cdot 0.5 = 72 \, \text{м/с}^2. \]
3. Полное ускорение равно: \[ a_{\text{полное}} = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_{\text{цс}}^2} = \sqrt{1.6^2 + 72^2} = \sqrt{2.56 + 5184} = \sqrt{5186.56} \approx 72.02 \, \text{м/с}^2. \]

Ответ: а) \(\varphi(2) = 6 \, \text{рад}\), б) \(\omega(2) = 3.2 \, \text{рад/с}\), в) \(\varepsilon(2) = 3.2 \, \text{рад/с}^2\), г) Полное линейное ускорение точки \(a_{\text{полное}} \approx 72.02 \, \text{м/с}^2\).