Найти скорость поступательного (линейного) движения внизу плоскости

Предмет: Физика (раздел — механика, динамика поступательного и вращательного движения).

Условие задачи:

Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости с высоты \( h = 15 \, \text{см} \). Необходимо найти его скорость поступательного (линейного) движения внизу плоскости.

Подробное решение

Теоретическая основа

1. Механическая энергия системы. В исходном состоянии цилиндр находится в состоянии покоя, а вся его энергия представлена потенциальной энергией. Когда цилиндр спускается вниз по наклонной плоскости, его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Поскольку цилиндр вращается, кинетическая энергия будет складываться из кинетической энергии поступательного движения тела и кинетической энергии его вращения вокруг собственной оси.
2. Закон сохранения механической энергии. Если отсутствуют силы трения, которые приводят к потере энергии (например, на тепловую энергию), то полная механическая энергия сохраняется. Тогда можно записать уравнение для закона сохранения энергии:

   \[ E_{\text{потенциальная}} = E_{\text{кинетическая поступательного}} + E_{\text{кинетическая вращательного}} \]

Потенциальная энергия на высоте \( h \) равна: \[ E_{\text{потенциальная}} = mgh \]

Здесь \( m \) — масса цилиндра, \( g \) — ускорение свободного падения, \( h \) — высота наклонной плоскости.

Кинетическая энергия поступательного движения: \[ E_{\text{кинетическая поступательного}} = \frac{1}{2}mv^2 \]

где \( v \) — линейная скорость в конце наклонной плоскости.

Кинетическая энергия вращательного движения: \[ E_{\text{кинетическая вращательного}} = \frac{1}{2}I\omega^2 \]

где \( I \) — момент инерции цилиндра относительно его оси, а \( \omega \) — угловая скорость цилиндра.

3. Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси: \[ I = \frac{1}{2} mR^2 \]

где \( R \) — радиус цилиндра. Угловая скорость \( \omega \) связана с линейной скоростью по формуле: \[ \omega = \frac{v}{R} \]

Запишем уравнение энергии:

\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \]

Подставляем выражение для момента инерции и угловой скорости: \[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}mR^2 \cdot \left(\frac{v}{R}\right)^2 \]

Упрощаем уравнение: \[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 \]

Складываем слагаемые с \(v^2\): \[ mgh = \frac{3}{4}mv^2 \]

Сокращаем массу \( m \) (она присутствует в обеих частях уравнения) и выражаем скорость \( v \): \[ gh = \frac{3}{4} v^2 \]

\[ v^2 = \frac{4}{3}gh \]

\[ v = \sqrt{\frac{4}{3}gh} \]

Подставляем числовые значения:

Высота \( h = 0{,}15 \, \text{м} \) (переводим см в метры), ускорение свободного падения \( g = 9{,}81 \, \text{м/с}^2 \).

\[ v = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}15} \]

\[ v = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 1{,}4715} = \sqrt{1{,}962} \approx 1{,}4 \, \text{м/с} \]

Ответ:

Скорость поступательного движения цилиндра в конце наклонной плоскости составляет \( v \approx 1{,}4 \, \text{м/с} \).