Найти скорость камня в момент его падения на землю

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика, движение под действием силы тяжести

Дано:

• Высота, с которой брошен камень \( h = 28 \, \text{м} \)
• Начальная скорость вверх \( v_0 = 8 \, \text{м/с} \)
• Ускорение свободного падения \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \)

Задача:

Нужно найти скорость камня в момент его падения на землю, то есть его конечную скорость \( v_f \) в момент касания земли.

Разбор:

Когда камень брошен вверх, он сначала поднимается, замедляясь под действием гравитации, затем достигает точки максимальной высоты, где его скорость становится равной нулю, а затем начинает падать, ускоряясь вниз под действием силы тяжести. Камень достигает конечной скорости \( v_f \), когда приземляется.

Используем закон сохранения энергии для решения задачи.

1. Закон сохранения механической энергии:

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы остаётся постоянной в отсутствии других сил, кроме силы тяжести. То есть:

\[ E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}} \]

Для начального и конечного состояния запишем это уравнение.

• Начальная энергия состоит из кинетической энергии (из-за начальной скорости) и потенциальной энергии (из-за высоты):

\[ E_{\text{начальная}} = \frac{m v_0^2}{2} + mgh \]

• Конечная энергия — это только кинетическая энергия камня, так как в момент касания земли его потенциальная энергия равна нулю (высота \( h = 0 \)):

\[ E_{\text{конечная}} = \frac{m v_f^2}{2} \]

Где:

• \( m \) — масса камня
• \( v_0 \) — начальная скорость
• \( v_f \) — скорость в момент удара об землю
• \( h \) — начальная высота
• \( g \) — ускорение свободного падения

Так как масса \( m \) сокращается из обоих частей уравнения, получаем:

\[ \frac{v_0^2}{2} + gh = \frac{v_f^2}{2} \]

2. Подставим значения для \( v_0 \), \( g \) и \( h \):

\[ \frac{8^2}{2} + 9.81 \cdot 28 = \frac{v_f^2}{2} \]

Посчитаем:

\[ \frac{64}{2} + 9.81 \cdot 28 = \frac{v_f^2}{2} \]

\[ 32 + 274.68 = \frac{v_f^2}{2} \]

\[ 306.68 = \frac{v_f^2}{2} \]

\[ v_f^2 = 2 \cdot 306.68 \]

\[ v_f^2 = 613.36 \]

\[ v_f = \sqrt{613.36} \approx 24.77 \, \text{м/с} \]

Ответ:

Скорость камня в момент его падения на землю \( v_f \approx 24.77 \, \text{м/с} \).