Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени

Данное задание принадлежит к области физики и математического анализа, конкретно к теме кинематики и производных функций.

Чтобы найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени \( t_1 = 2 \) с, сначала найдем первую и вторую производные координат по времени.

1. Координата x(t):

\[ x(t) = - \frac{2}{3} t^3 + \frac{1}{2} t^2 \]

Первая производная \( x(t) \) по времени:

\[ v_x(t) = x'(t) = -2 t^2 + t \]

Вторая производная \( x(t) \) по времени:

\[ a_x(t) = x''(t) = -4t + 1 \]

2. Координата y(t):

\[ y(t) = \frac{3}{4} t^4 - 6 t \]

Первая производная \( y(t) \) по времени:

\[ v_y(t) = y'(t) = 3 t^3 - 6 \]

Вторая производная \( y(t) \) по времени:

\[ a_y(t) = y''(t) = 9 t^2 \]

Теперь найдем скорости и ускорения в момент времени \( t_1 = 2 \) с.

1. Скорость в момент времени \( t_1 = 2 \):

\[ v_x(2) = -2 \cdot 2^2 + 2 = -2 \cdot 4 + 2 = -8 + 2 = -6 \]

\[ v_y(2) = 3 \cdot 2^3 - 6 = 3 \cdot 8 - 6 = 24 - 6 = 18 \]

Полная скорость:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-6)^2 + 18^2} = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} \approx 18.974 \]

2. Ускорение в момент времени \( t_1 = 2 \):

\[ a_x(2) = -4 \cdot 2 + 1 = -8 + 1 = -7 \]

\[ a_y(2) = 9 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36 \]

Полное ускорение:

\[ a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-7)^2 + 36^2} = \sqrt{49 + 1296} = \sqrt{1345} \approx 36.674 \]

Округлим результаты до 0.001.

Итоговые значения:

• Скорость в момент времени \( t_1 = 2 \) с: \( v \approx 18.974 \) м/с (округлено до 0.001).
• Ускорение в момент времени \( t_1 = 2 \) с: \( a \approx 36.674 \) м/с² (округлено до 0.001).