Найти расстояние, пройденное телом за время

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика

Дано:
Скорость тела изменяется по закону:
V(t) = \sin(5t)

Начальное время:
t_0 = \frac{\pi}{4}

Начальное положение:
x_0 = 6

Конечное время:
t_1 = t_0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}

Найти:
Расстояние, пройденное телом за время \frac{\pi}{6}.

Решение:
Пройденный путь определяется как интеграл от скорости по времени:
S = \int\limits_{t_0}^{t_1} V(t) dt = \int\limits_{t_0}^{t_1} \sin(5t) dt

Вычислим интеграл:
\int \sin(5t) dt = -\frac{1}{5} \cos(5t)

Подставим пределы интегрирования:
S = \left[-\frac{1}{5} \cos(5t) \right]_{t_0}^{t_1}

Подставляем значения t_0 и t_1:
S = -\frac{1}{5} \left(\cos(5t_1) - \cos(5t_0)\right)

Вычислим аргументы косинуса:
5t_0 = 5 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}
5t_1 = 5 \cdot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = 5 \cdot \frac{3\pi}{12} + 5 \cdot \frac{2\pi}{12} = 5 \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}

Теперь вычисляем косинусы:
\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\cos\left(\frac{25\pi}{12}\right) можно вычислить приближенно.

Подставляем в выражение:
S = -\frac{1}{5} \left(\cos\left(\frac{25\pi}{12}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Приближенное значение:
\cos\left(\frac{25\pi}{12}\right) \approx -0.866
\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707

S \approx -\frac{1}{5} (-0.866 + 0.707) = -\frac{1}{5}(-0.159) = 0.0318

Ответ:
Тело прошло приблизительно 0.032 м.