Найти производную функции

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Дифференцирование сложных функций, производные обратных тригонометрических функций)

Дано:

Необходимо найти производную функции:
 y = \arcsin \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{x}} 

Разбираем функцию

Функция содержит арксинус (обратную тригонометрическую функцию), а также дробное выражение под знаком арксинуса. Здесь присутствует сложная функция, поэтому будем использовать правило дифференцирования сложной функции:

 \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) 

То есть, сначала берём производную внешней функции (арксинуса), а затем умножаем на производную внутренней функции (дроби).

Шаг 1: Производная арксинуса

Из формулы производной арксинуса:
 \frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u' 

где  u = \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{x}} .

Шаг 2: Упрощение выражения под арксинусом

Рассмотрим выражение:
 u = \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{x}} 

Перепишем корни в виде степеней:
 u = \frac{(3x)^{1/2}}{x^{1/2}} 

Разделим показатели степеней:
 u = (3x)^{1/2} \cdot x^{-1/2} = 3^{1/2} \cdot x^{(1/2 - 1/2)} = \sqrt{3} \cdot x^0 = \sqrt{3} 

Так как  x^0 = 1 , то  u = \sqrt{3} , что является константой!

Шаг 3: Производная константы

Так как  u  — это просто число  \sqrt{3} , его производная равна нулю:
 u' = 0 .

Шаг 4: Подставляем в формулу

Так как  u' = 0 , то вся производная выражения  \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'  также равна нулю.

То есть:
 y' = 0 .

Ответ:

 y' = 0 .

Это означает, что функция  y = \arcsin \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{x}}  является постоянной, и её производная равна нулю.