Найти нормальное и тангенциальное ускорение, радиус кривизны траектории, а также угол между вектором ускорения и вектором скорости

Задача относится к курсу физики, раздел "Кинематика".

Рассмотрим подробно условия задачи. Нам дано:

• Начальная горизонтальная скорость камня \(v_0 = 15 \, \text{м/с}\);
• Время \(t = 2,0 \, \text{с}\);
• Пренебрегаем сопротивлением воздуха.

Задача просит найти нормальное и тангенциальное ускорение, радиус кривизны траектории, а также угол между вектором ускорения и вектором скорости.

1. Определение тангенциального (касательного) ускорения:

При горизонтальном броске касательное ускорение равно гравитационному ускорению, так как оно действует только по вертикали.

\[ a_{\text{танг}} = g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2. \]

2. Определение нормального ускорения:

Нормальное ускорение \(a_{\text{норм}}\) связано с изменением направления скорости тела. Выразим его с помощью радиуса кривизны и мгновенной скорости. Величина нормального ускорения определяется по формуле:

\[ a_{\text{норм}} = \frac{v^2}{R}, \]

где:

• \(v\) — полная скорость в данный момент времени,
• \(R\) — радиус кривизны траектории в этот момент времени.

Для нахождения нормального ускорения сначала определим скорость тела в момент времени \(t = 2\,с\).

3. Определение скорости на момент времени \(t = 2,0 \, \text{с}\):

Горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной, так как на неё не действует никаких сил:

\[ v_x = v_0 = 15 \, \text{м/с}. \]

Вертикальная составляющая скорости накапливается под действием гравитации и определяется по формуле:

\[ v_y = g \cdot t = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \cdot 2{,}0 \, \text{с} = 19{,}6 \, \text{м/с}. \]

Теперь полная скорость \(v\) в этот момент времени:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{15^2 + 19{,}6^2} \approx \sqrt{225 + 384{,}16} \approx \sqrt{609{,}16} \approx 24{,}68 \, \text{м/с}. \]

4. Теперь можно найти нормальное ускорение:

\[ a_{\text{норм}} = \frac{v^2}{R}. \]

Для нахождения нормального ускорения нам нужен радиус кривизны \(R\). Выразим его через скорость и вертикальное ускорение:

\[ R = \frac{v^2}{g}. \]

Подставляем значение скорости и ускорения:

\[ R = \frac{24{,}68^2}{9{,}8} \approx \frac{609{,}1}{9{,}8} \approx 62{,}15 \, \text{м}. \]

Теперь найдём нормальное ускорение:

\[ a_{\text{норм}} = \frac{24{,}68^2}{62{,}15} \approx 9{,}81 \, \text{м/с}^2. \]

5. Угол между вектором полного ускорения и вектором скорости:

Теперь, когда мы знаем нормальное и тангенциальное ускорения, определим полный вектор ускорения. Полное ускорение состоит из нормального и тангенциального ускорений:

\[ a = \sqrt{a_{\text{танг}}^2 + a_{\text{норм}}^2} = \sqrt{9{,}81^2 + 9{,}8^2} \approx \sqrt{96{,}23 + 96{,}04} \approx \sqrt{192{,}27} \approx 13{,}87 \, \text{м/с}^2. \]

Наконец, угол \(\alpha\) между вектором полного ускорения и вектором скорости определяется формулой:

\[ \alpha = \arctan\left(\frac{a_{\text{танг}}}{a_{\text{норм}}}\right) = \arctan\left(\frac{9{,}8}{9{,}8}\right) = \arctan(1) = 45^\circ. \]

Ответ:

• Тангенциальное ускорение: \(a_{\text{танг}} = 9{,}8 \, \text{м/с}^2\);
• Нормальное ускорение: \(a_{\text{норм}} = 9{,}81 \, \text{м/с}^2\);
• Радиус кривизны траектории: \(R = 62{,}15 \, \text{м}\);
• Угол между вектором ускорения и вектором скорости: \(\alpha = 45^\circ\).