Найти начальную скорость

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к физике, к разделу механика, а точнее — к теме кинематика. Мы будем разбирать движение тела, брошенного вертикально вверх.

Решение

1. Опишем ситуацию: Шарик подбросили вертикально вверх, и нам известно, что он оказался на одной и той же высоте дважды:
   • Время первого момента: \( t_1 = 1{,}5 \) сек
   • Время второго момента: \( t_2 = 3{,}5 \) сек
   Задача состоит в том, чтобы найти начальную скорость \( v_0 \).
2. Запишем уравнение движения: Для движения тела, подброшенного вверх с начальной скоростью \( v_0 \) под действием ускорения свободного падения \( g \), положение в любой момент времени \( t \) определяется уравнением:

   \[ h(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]

   Где:
   • \( h(t) \) — высота в момент времени \( t \),
   • \( v_0 \) — начальная скорость, которую мы ищем,
   • \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения,
   • \( t \) — время.
3. Шарик побывал на одной и той же высоте дважды. Это значит, что на высоте, достигнутой через \( t_1 = 1{,}5 \) сек и через \( t_2 = 3{,}5 \) сек, у нас одинаковое значение высоты \( h(t_1) = h(t_2) \). Подставляем эти значения времени в уравнение высоты:

   \[ v_0 t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2 = v_0 t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2 \]

4. Подставим числовые значения: Подставляем \( t_1 = 1{,}5 \) сек, \( t_2 = 3{,}5 \) сек и \( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \):

   \[ v_0 \cdot 1{,}5 - \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot (1{,}5)^2 = v_0 \cdot 3{,}5 - \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot (3{,}5)^2 \]

5. Перенесем члены с \( v_0 \) в одну сторону, а без \( v_0 \) — в другую:

   \[ v_0 \cdot (1{,}5 - 3{,}5) = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot \left[(3{,}5)^2 - (1{,}5)^2\right] \]

   Упрощаем в скобках:

   \[ v_0 \cdot (-2) = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot (12{,}25 - 2{,}25) \]

   \[ v_0 \cdot (-2) = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot 10 \]

   \[ v_0 \cdot (-2) = 49 \]

6. Найдём начальную скорость \( v_0 \):

   \[ v_0 = \frac{49}{-2} = -24{,}5 \, \text{м/с} \]

   Очевидно, что минус указывает лишь на то, что шарик движется в обратном направлении относительно броска (вверх), но начальная скорость — это положительное значение. Следовательно, начальная скорость \( v_0 = 24{,}5 \, \text{м/с} \).

Ответ:

Начальная скорость шарика \( v_0 = 24{,}5 \, \text{м/с} \).