Найти на какую максимальную высоту поднималось тело

Предмет: Физика.

Раздел: Кинематика и динамика. Задачи на равнопеременное движение.

Условие:

Тело, брошенное вертикально вверх, через промежуток времени, равный половине времени подъёма на максимальную высоту, находилось на высоте 9 м над точкой броска. На какую максимальную высоту поднималось тело?

Шаг 1. Понимание задачи и основные формулы.

• Начальная скорость при броске обозначим через \( v_0 \).
• При движении тела вертикально вверх, оно испытывает ускорение вниз, которое равно ускорению свободного падения \( g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 \).
• На максимальной высоте скорость тела станет равной нулю, а до этого момента оно будет замедляться.
• Время подъёма до максимальной высоты обозначим как \( t_{\text{подъем}} \).
• Важно, что в задаче указано, что тело через время \( \frac{t_{\text{подъем}}}{2} \) находилось на высоте 9 м над точкой броска.

Формулы для движения с постоянным ускорением:

1. Высота в любой момент времени: \[ h(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
   Где:
   • \( h(t) \) — высота тела над точкой броска,
   • \( v_0 \) — начальная скорость,
   • \( g \) — ускорение свободного падения (9.8 м/с²),
   • \( t \) — время спустя момент броска.
2. Время подъёма на максимальную высоту: \[ t_{\text{подъем}} = \frac{v_0}{g} \]
3. Максимальная высота (при \( v = 0 \) на вершине): \[ h_{\text{макс}} = \frac{v_0^2}{2g} \]

Шаг 2. Используем, что в момент времени \( \frac{t_{\text{подъем}}}{2} \) тело находилось на высоте 9 м.

Подставляем выходные данные в основное уравнение движения по высоте:

\[ h\left(\frac{t_{\text{подъем}}}{2}\right) = v_0 \cdot \frac{t_{\text{подъем}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( \frac{t_{\text{подъем}}}{2} \right)^2 \]

По условию известно, что \( h = 9 \, \text{м} \), когда \( t = \frac{t_{\text{подъем}}}{2} \). Из данного факта:

\[ 9 = v_0 \cdot \frac{t_{\text{подъем}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( \frac{t_{\text{подъем}}}{2} \right)^2 \]

Теперь можем упростить это уравнение. Вспомним, что \( t_{\text{подъем}} = \frac{v_0}{g} \). Подставим это значение:

\[ 9 = v_0 \cdot \frac{\frac{v_0}{g}}{2} - \frac{1}{2} g \cdot \frac{\left(\frac{v_0}{g}\right)^2}{4} \]

Упрощаем выражение:

\[ 9 = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{1}{2} g \cdot \frac{v_0^2}{4g^2} \]

\[ 9 = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{v_0^2}{8g} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 9 = \frac{4v_0^2 - v_0^2}{8g} \]

\[ 9 = \frac{3v_0^2}{8g} \]

Теперь выразим \( v_0^2 \):

\[ v_0^2 = \frac{9 \cdot 8g}{3} = 24g \]

Подставим значение \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \):

\[ v_0^2 = 24 \cdot 9.8 = 235.2 \, \text{м}^2/\text{с}^2 \]

Шаг 3. Найдём максимальную высоту подъёма.

Теперь можем найти максимальную высоту по формуле:

\[ h_{\text{макс}} = \frac{v_0^2}{2g} \]

\[ h_{\text{макс}} = \frac{235.2}{2 \cdot 9.8} = \frac{235.2}{19.6} \approx 12 \, \text{м} \]

Ответ:

Тело поднималось на максимальную высоту 12 метров.