Найти моменты времени, в которые достигаются: 1. Максимальная скорость 2. Максимальное ускорение

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Кинематика

Дано:

Уравнение движения точки в виде: \[ x = \sin\left( \frac{\pi t}{6} \right), \text{ см} \]

Найти моменты времени, в которые достигаются:

1. Максимальная скорость
2. Максимальное ускорение

Решение:

Для того, чтобы найти моменты максимальной скорости и максимального ускорения, нам нужно воспользоваться производными.

1. Скорость – это первая производная координаты по времени: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} \]
2. Ускорение – это вторая производная координаты по времени: \[ a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} \]

1. Находим скорость:

\[ x = \sin\left( \frac{\pi t}{6} \right) \]

Возьмем первую производную от \(x\) по времени:

\[ v(t) = \frac{d}{dt}\left[ \sin\left( \frac{\pi t}{6} \right) \right] \]

Используем правило дифференцирования для синуса и производной внутренней функции:

\[ v(t) = \cos\left( \frac{\pi t}{6} \right) \cdot \frac{\pi}{6} \]

Значит, выражение для скорости:

\[ v(t) = \frac{\pi}{6} \cos\left( \frac{\pi t}{6} \right) \]

Чтобы найти моменты времени, когда скорость максимальна, нам нужно найти максимумы функции скорости. Так как максимальное значение косинуса равно 1, максимальная скорость достигается, когда:

\[ \cos\left( \frac{\pi t}{6} \right) = 1 \]

Это происходит при:

\[ \frac{\pi t}{6} = 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]

Решая это уравнение, находим:

\[ t = 12n \]

Таким образом, максимальная скорость достигается в моменты времени \(t = 12n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

2. Находим ускорение:

Теперь вычислим вторую производную \(x(t)\), т. е. производную скорости:

\[ a(t) = \frac{d}{dt}\left[ \frac{\pi}{6} \cos\left( \frac{\pi t}{6} \right) \right] \]

Используем правило дифференцирования для косинуса и внутренней функции:

\[ a(t) = \frac{\pi}{6} \cdot \left( -\sin\left( \frac{\pi t}{6} \right) \cdot \frac{\pi}{6} \right) \]

Получаем:

\[ a(t) = -\frac{\pi^2}{36} \sin\left( \frac{\pi t}{6} \right) \]

Максимумы ускорения соответствуют моментам, когда синус равен 1, то есть:

\[ \sin\left( \frac{\pi t}{6} \right) = 1 \]

Это происходит при:

\[ \frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]

Решаем уравнение для \(t\):

\[ t = 3 + 12n \]

Ответ:

1. Максимальная скорость достигается в моменты времени \( t = 12n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. Максимальное ускорение достигается в моменты времени \( t = 3 + 12n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Значит, максимальное ускорение достигается в моменты времени \(\displaystyle t = 3 + 12n\), где \(\displaystyle n \in \mathbb{Z}\).