Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти моменты времени, когда скорость точки будет равна 0. Найти интервалы возрастания и убывания скорости. Найти ускорение в момент времени
Условие:
Тело движется прямолинейно по закону x = x(t), где x – координата тела в метрах, t – время в секундах. В какие моменты времени скорость точки будет равна 0? Определить интервалы возрастания и убывания скорости. Чему равно ускорение тела в этот момент времени?
Решение:
Это задание относится к физике и математике, а конкретнее - к разделу "Кинематика" и применению производных в физических задачах.
1. Найдем моменты времени, когда скорость \(v(t)\) будет равна 0:
Скорость - это первая производная координаты \(x(t)\) по времени \(t\):
\[x(t) = \frac{1}{3}t^3 + 3t^2 - 27t - 4\] \[v(t) = \frac{d}{dt}[x(t)] = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 - 27t - 4\right)\]Выполним дифференцирование:
\[v(t) = t^2 + 6t - 27\]Приравняем выражение для скорости к нулю, чтобы найти моменты времени, когда скорость будет равна 0:
\[t^2 + 6t - 27 = 0\]Решим квадратное уравнение методом дискриминанта:
Дискриминант \(D\) равен:
\[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\]Корни уравнения:
\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 12}{2}\] \[\Rightarrow t_1 = \frac{6}{2} = 3 \, \text{с}\] \[\Rightarrow t_2 = \frac{-18}{2} = -9 \, \text{с}\]Так как время не может быть отрицательным, то оставляем только \( t = 3 \, \text{с} \).
Таким образом, скорость равна нулю в момент времени \( t = 3 \, \text{с} \).
2. Найдем интервалы возрастания и убывания скорости:
Рассмотрим знак производной \( v(t) = t^2 + 6t - 27 \):
Для этого найдем точки, где скорость равна нулю. Мы уже нашли эти точки: \( t = -9 \) и \( t = 3 \). Тогда интервалы будут следующие:
- Интервал \( (-\infty, -9) \), возьмем значение \( t = -10 \): \[ v(-10) = (-10)^2 + 6(-10) - 27 = 100 - 60 - 27 = 13 > 0 \]
- Интервал \( (-9, 3) \), возьмем значение \( t = 0 \): \[ v(0) = (0)^2 + 6(0) - 27 = -27 < 0 \]
- Интервал \( (3, +\infty) \), возьмем значение \( t = 4 \): \[ v(4) = (4)^2 + 6(4) - 27 = 16 + 24 - 27 = 13 > 0 \]
Таким образом:
- Скорость возрастает на интервалах \( (-\infty, -9) \) и \( (3, +\infty) \).
- Скорость убывает на интервале \( (-9, 3) \).
3. Найдем ускорение в момент времени \( t = 3 \, \text{с} \):
Ускорение - это первая производная скорости по времени, то есть вторая производная координаты по времени:
\[a(t) = \frac{d}{dt}[v(t)] = \frac{d}{dt}[t^2 + 6t - 27]\]Дифференцируем:
\[a(t) = 2t + 6\]Теперь подставим \( t = 3 \):
\[a(3) = 2(3) + 6 = 6 + 6 = 12 \,\text{м/с}^2\]Таким образом, ускорение в момент времени \( t = 3 \, \text{с} \) равно \( 12 \,\text{м/с}^2\).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку