Найти модуль вектора ее скорости в момент времени t=2

Предмет и раздел:

Задача относится к физике и математике, а именно к разделу кинематики (расчет скорости точки) и математическому аппарату — исчислению функций многих переменных (производные, векторы и модули).

Решение:

Шаг 1. Выразим компоненты скорости

Скорость — это производная координаты по времени. Найдем частные производные \( v_x, v_y, v_z \) для каждой из координат \( x(t), y(t), z(t) \).

1. Для координаты \( x(t) = t^2 - 3t + 3 \):
   \[ v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 3t + 3) = 2t - 3. \]
2. Для координаты \( y(t) = t^3 - 2t^2 + 1 \):
   \[ v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 2t^2 + 1) = 3t^2 - 4t. \]
3. Для координаты \( z(t) = 5 \ln(t^2 + 1) + t^2 \):

   Здесь требуется найти производную функции, содержащей логарифм:

   \[ v_z = \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}\big(5\ln(t^2 + 1) + t^2\big). \]

   Выполним поэтапно:

   • Производная логарифма: \( \frac{d}{dt}\big(5\ln(t^2 + 1)\big) = 5 \cdot \frac{1}{t^2 + 1} \cdot \frac{d}{dt}(t^2 + 1) = 5 \cdot \frac{2t}{t^2 + 1}. \)
   • Производная \( t^2 \): \( \frac{d}{dt}(t^2) = 2t. \)

   Следовательно:

   \[ v_z = 5 \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} + 2t = \frac{10t}{t^2 + 1} + 2t. \]

Шаг 2. Найдем значения компонентов скорости при \( t = 2 \)

1. Вычислим \( v_x \):
   \[ v_x = 2t - 3 \quad \text{при } t=2: \quad v_x = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1. \]
2. Вычислим \( v_y \):
   \[ v_y = 3t^2 - 4t \quad \text{при } t=2: \quad v_y = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4. \]
3. Вычислим \( v_z \):
   \[ v_z = \frac{10t}{t^2 + 1} + 2t \quad \text{при } t=2: \]

   Сначала найдем отдельные части:

   • \( \frac{10t}{t^2 + 1} = \frac{10 \cdot 2}{2^2 + 1} = \frac{20}{4 + 1} = \frac{20}{5} = 4. \)
   • \( 2t = 2 \cdot 2 = 4. \)

   Тогда:

   \[ v_z = 4 + 4 = 8. \]

Шаг 3. Найдем модуль вектора скорости

Модуль вектора скорости равен:

Подставим рассчитанные компоненты:

Ответ:

Модуль вектора скорости движущейся точки в момент времени \( t=2 \):