Найти модуль ускорения частицы в момент времени

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика

Дано:
Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону:
\vec{r}(t) = 3t^3 \cdot \vec{e}_x + 4t^2 \cdot \vec{e}_y - 7t \cdot \vec{e}_z.

Найти модуль ускорения частицы в момент времени t_1 = 1 \, \text{с}.

Решение:

Для нахождения ускорения необходимо дважды продифференцировать радиус-вектор \vec{r}(t) по времени t.

1. Скорость (первая производная радиус-вектора):
   \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \big( 3t^3 \cdot \vec{e}_x + 4t^2 \cdot \vec{e}_y - 7t \cdot \vec{e}_z \big)
   \vec{v}(t) = 9t^2 \cdot \vec{e}_x + 8t \cdot \vec{e}_y - 7 \cdot \vec{e}_z

2. Ускорение (вторая производная радиус-вектора):
   \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \big( 9t^2 \cdot \vec{e}_x + 8t \cdot \vec{e}_y - 7 \cdot \vec{e}_z \big)
   \vec{a}(t) = 18t \cdot \vec{e}_x + 8 \cdot \vec{e}_y

3. Подставим t_1 = 1 \, \text{с}:
   \vec{a}(1) = 18 \cdot 1 \cdot \vec{e}_x + 8 \cdot \vec{e}_y
   \vec{a}(1) = 18 \cdot \vec{e}_x + 8 \cdot \vec{e}_y

4. Модуль ускорения:
   |\vec{a}(1)| = \sqrt{(18)^2 + (8)^2}
   |\vec{a}(1)| = \sqrt{324 + 64}
   |\vec{a}(1)| = \sqrt{388}
   |\vec{a}(1)| \approx 19.7 \, \text{м/с}^2.

Ответ:

d. \, 19.7 \, \text{м/с}^2.