Найти количество оборотов в секунду

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Кинематика вращательного движения

Дано:

• Линейная скорость точки на ободе колеса $\text{(}{v}_1=3\text{м/с}\text{)}$
• Линейная скорость точки, находящейся на 10 см ближе к центру (т.е. на радиусе, уменьшенном на 0.1 м), $\text{(}{v}_2=2\text{м/с}\text{)}$
• Разница радиусов этих точек $\text{(}{r}_1-r_2=0.1\text{м}\text{)}$

Что нужно найти:

Количество оборотов в секунду — это частота вращения колеса $\text{(}f\text{)}$.

Решение:

При равномерном вращении угловая скорость $\text{(}\omega \text{)}$ одинакова для всех точек колеса. Связь между угловой скоростью и линейной скоростью для любой точки на колесе выражается формулой: $\text{[}v=\omega \cdot r\text{]}$

где:

• $\text{(}v\text{)}$ — линейная скорость точки
• $\text{(}\omega \text{)}$ — угловая скорость
• $\text{(}r\text{)}$ — расстояние от оси вращения (радиус)

Для двух точек на колесе запишем два уравнения:

1. Для точки на ободе колеса (с радиусом $\text{(}{r}_1\text{)}$): $\text{[}{v}_1=\omega \cdot r_1\text{]}$ $\text{[}3=\omega \cdot r_1\text{(1)}\text{]}$
2. Для точки, находящейся на расстоянии на 10 см ближе к оси (с радиусом $\text{(}{r}_2=r_1-0.1\text{)}$): $\text{[}{v}_2=\omega \cdot r_2\text{]}$ $\text{[}2=\omega \cdot (r_1-0.1)\text{(2)}\text{]}$

Теперь решим систему уравнений.

Шаг 1: Выразим $\text{(}\omega \text{)}$ из уравнения (1):

$\text{[}\omega =\frac{3}{r_1}\text{]}$

Шаг 2: Подставим это выражение в уравнение (2):

$\text{[}2=\frac{3}{r_1}\cdot (r_1-0.1)\text{]}$

Раскроем скобки: $\text{[}2=\frac{3\cdot r_1-0.3}{r_1}\text{]}$

Умножим обе части уравнения на $\text{(}{r}_1\text{)}$: $\text{[}2r_1=3r_1-0.3\text{]}$

Переносим все слагаемые с $\text{(}{r}_1\text{)}$ в одну сторону: $\text{[}3r_1-2r_1=0.3\text{]}$

$\text{[}{r}_1=0.3\text{м}\text{]}$

Шаг 3: Найдём угловую скорость $\text{(}\omega \text{)}$:

Теперь подставим значение $\text{(}{r}_1\text{)}$ в уравнение для угловой скорости: $\text{[}\omega =\frac{3}{0.3}=10\text{рад/с}\text{]}$

Шаг 4: Найдём частоту вращения $\text{(}f\text{)}$:

Связь между угловой скоростью $\text{(}\omega \text{)}$ и частотой вращения $\text{(}f\text{)}$ выражается формулой: $\text{[}\omega =2\pi f\text{]}$

Тогда: $\text{[}f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{10}{2\pi }\approx \frac{10}{6.28}\approx 1.59\text{Гц}\text{]}$

Ответ:

Колесо совершает примерно $1.59$ оборота в секунду.