Найти количество оборотов в секунду

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Кинематика вращательного движения

Дано:

• Линейная скорость точки на ободе колеса \( v_1 = 3 \, \text{м/с} \)
• Линейная скорость точки, находящейся на 10 см ближе к центру (т.е. на радиусе, уменьшенном на 0.1 м), \( v_2 = 2 \, \text{м/с} \)
• Разница радиусов этих точек \( r_1 - r_2 = 0.1 \, \text{м} \)

Что нужно найти:

Количество оборотов в секунду — это частота вращения колеса \( f \).

Решение:

При равномерном вращении угловая скорость \( \omega \) одинакова для всех точек колеса. Связь между угловой скоростью и линейной скоростью для любой точки на колесе выражается формулой: \[ v = \omega \cdot r \]

где:

• \( v \) — линейная скорость точки
• \( \omega \) — угловая скорость
• \( r \) — расстояние от оси вращения (радиус)

Для двух точек на колесе запишем два уравнения:

1. Для точки на ободе колеса (с радиусом \( r_1 \)): \[ v_1 = \omega \cdot r_1 \] \[ 3 = \omega \cdot r_1 \quad \text{(1)} \]
2. Для точки, находящейся на расстоянии на 10 см ближе к оси (с радиусом \( r_2 = r_1 - 0.1 \)): \[ v_2 = \omega \cdot r_2 \] \[ 2 = \omega \cdot (r_1 - 0.1) \quad \text{(2)} \]

Теперь решим систему уравнений.

Шаг 1: Выразим \( \omega \) из уравнения (1):

\[ \omega = \frac{3}{r_1} \]

Шаг 2: Подставим это выражение в уравнение (2):

\[ 2 = \frac{3}{r_1} \cdot (r_1 - 0.1) \]

Раскроем скобки: \[ 2 = \frac{3 \cdot r_1 - 0.3}{r_1} \]

Умножим обе части уравнения на \( r_1 \): \[ 2r_1 = 3r_1 - 0.3 \]

Переносим все слагаемые с \( r_1 \) в одну сторону: \[ 3r_1 - 2r_1 = 0.3 \]

\[ r_1 = 0.3 \, \text{м} \]

Шаг 3: Найдём угловую скорость \( \omega \):

Теперь подставим значение \( r_1 \) в уравнение для угловой скорости: \[ \omega = \frac{3}{0.3} = 10 \, \text{рад/с} \]

Шаг 4: Найдём частоту вращения \( f \):

Связь между угловой скоростью \( \omega \) и частотой вращения \( f \) выражается формулой: \[ \omega = 2\pi f \]

Тогда: \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} \approx \frac{10}{6.28} \approx 1.59 \, \text{Гц} \]

Ответ:

Колесо совершает примерно 1.59 оборота в секунду.