Найти: 1. Угловое ускорение колеса. 2. Число оборотов, сделанных за это время

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика вращательного движения

Задание:

Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 40 секунд от 240 до 120 оборотов в минуту. Нужно найти:

1. Угловое ускорение колеса.
2. Число оборотов, сделанных за это время.

Концепции, используемые для решения:

1. Угловая скорость (\(\omega\)) измеряется в радианах в секунду (рад/с). Для перевода из оборотов в минуту (об/мин) в радианы в секунду используется формула: \[ \omega = \frac{2\pi N}{60} \] где \(N\) — это число оборотов в минуту.
2. Связь углового ускорения (\(\alpha\)) с угловыми скоростями: \[ \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \] где:
   • \(\Delta \omega\) — изменение угловой скорости,
   • \(\Delta t\) — время торможения.
3. Формула для углового перемещения при равнозамедленном движении: \[ \Delta \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \] где:
   • \(\Delta \theta\) — угловое перемещение (в радианах),
   • \(\omega_0\) — начальная угловая скорость,
   • \(\alpha\) — угловое ускорение.
   После нахождения углового перемещения его можно перевести в число оборотов.

Шаги решения:

1. Переведем угловую скорость из оборотов в минуту в радианы в секунду.

Начальная угловая скорость \(\omega_0\) была равна \(240\) об/мин, а конечная — \(120\) об/мин.

Для начальной скорости \(\omega_0\): \[ \omega_0 = \frac{2\pi \cdot 240}{60} = 8\pi \ \text{рад/с} \]

Для конечной скорости \(\omega\): \[ \omega = \frac{2\pi \cdot 120}{60} = 4\pi \ \text{рад/с} \]

2. Найдём угловое ускорение \(\alpha\).

Для этого воспользуемся формулой: \[ \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \]

\[\Delta \omega = \omega - \omega_0 = 4\pi - 8\pi = -4\pi \ \text{рад/с} \]

\[\Delta t = 40 \ \text{с} \]

Тогда угловое ускорение: \[ \alpha = \frac{-4\pi}{40} = -\frac{\pi}{10} \ \text{рад/с}^2 \]

3. Найдём угловое перемещение \(\Delta \theta\).

Теперь можно использовать формулу для углового перемещения: \[ \Delta \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \]

Подставим известные значения: \[ \Delta \theta = 8\pi \cdot 40 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{10}\right) \cdot 40^2 \]

Выполним вычисления: \[ \Delta \theta = 320\pi + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{10}\right) \cdot 1600 \]

\[ \Delta \theta = 320\pi - \frac{800\pi}{10} = 320\pi - 80\pi = 240\pi \ \text{рад} \]

4. Найдём число оборотов.

Общее угловое перемещение равно \(240\pi\) рад. Для того чтобы найти число оборотов, нужно разделить угловое перемещение на количество радиан в одном обороте (\(2\pi\) рад): \[ N = \frac{\Delta \theta}{2\pi} = \frac{240\pi}{2\pi} = 120 \ \text{оборотов} \]

Ответы:

• Угловое ускорение: \(\alpha = -\frac{\pi}{10} \ \text{рад/с}^2\).
• Число оборотов: \(N = 120\).

Знак минус говорит о том, что ускорение замедляющее (против вращения).