Найти: 1. Траекторию; 2. Скорость и ускорение в начальный момент; 3. Высоту и дальность обстрела

Предмет: Физика Раздел: Кинематика, движение тела под действием силы тяжести

Основные данные задачи:

Тело (снаряд) движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям:

• \( x = 300t \)
• \( y = 400t - 5t^2 \)

где \(t\) — время в секундах, \(x\) и \(y\) — координаты в метрах.

Нужно найти:

1. Траекторию;
2. Скорость и ускорение в начальный момент;
3. Высоту и дальность обстрела;
4. Радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей точках.

1. Траектория

Чтобы найти траекторию, выразим время \(t\) через \(x\) из первого уравнения:

\[ x = 300t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{x}{300} \]

Теперь подставим это в уравнение \( y = 400t - 5t^2 \):

\[ y = 400\frac{x}{300} - 5\left(\frac{x}{300}\right)^2 \]

Упростим выражение:

\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{900}x^2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{180}x^2 \]

Это уравнение квадратичной параболы, описывающее траекторию снаряда.

Ответ: Траектория имеет вид \( y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{180}x^2 \).

2. Скорость и ускорение в начальный момент

Для нахождения скорости и ускорения, найдем производные координат \(x(t)\) и \(y(t)\) по времени:

• Проекция скорости на ось \(x\): \[ v_x = \frac{dx}{dt} = 300 \ \text{м/с} \]
• Проекция скорости на ось \(y\): \[ v_y = \frac{dy}{dt} = 400 - 10t \]

В начальный момент времени \(t = 0\):

\[ v_y(0) = 400 \ \text{м/с} \]

Следовательно, скорость \(\vec{v}(0)\) в начальный момент равна:

\[ \vec{v}(0) = (v_x, v_y) = (300, 400) \]

Модуль вектора скорости:

\[ v(0) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500 \ \text{м/с} \]

Теперь найдем ускорение. Для этого возьмем вторую производную координат по времени:

• Ускорение вдоль оси \(x\): \[ a_x = \frac{d^2x}{dt^2} = 0 \ \text{м/с}^2 \]
• Ускорение вдоль оси \(y\): \[ a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = -10 \ \text{м/с}^2 \]

Итак, ускорение \(\vec{a}\) в любой момент времени:

\[ \vec{a} = (a_x, a_y) = (0, -10) \ \text{м/с}^2 \]

• Скорость в начальный момент: 500 м/с
• Ускорение в начальный момент: \(\vec{a} = (0, -10) \ \text{м/с}^2\)

3. Высота и дальность обстрела

• Дальность обстрела: найдётся, когда снаряд достигнет земли, то есть \(y = 0\). Уравнение \( y = 400t - 5t^2 \) при \( y = 0 \):

\[ 400t - 5t^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t(400 - 5t) = 0 \]

Откуда \(t = 0\) (начальный момент) или \(t = 80\) секунд.

Теперь найдём дальность, подставив \(t = 80\) в уравнение для \(x\):

\[ x(80) = 300 \cdot 80 = 24000 \ \text{м} \]

• Максимальная высота: достигается в тот момент, когда \(v_y = 0\). Из выражения для \(v_y\):

\[ 400 - 10t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 40 \ \text{секунд} \]

Подставим это время в уравнение для \(y\):

\[ y(40) = 400 \cdot 40 - 5 \cdot 40^2 = 16000 - 5 \cdot 1600 = 16000 - 8000 = 8000 \ \text{м} \]

• Дальность обстрела: 24000 м
• Максимальная высота: 8000 м

4. Радиус кривизны траектории

Радиус кривизны траектории в точке определяется формулой:

\[ R = \frac{(1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 )^{3/2}}{\left| \frac{d^2y}{dx^2} \right|} \]

Теперь найдём производные. Найдём \(\frac{dy}{dx}\) через дифференцирование уравнения траектории \(y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{180}x^2\):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} - \frac{1}{90}x \]

А теперь вторая производная:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{90} \]

Начальная точка (\(x = 0\)):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} \quad \text{и} \quad \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{90} \]

Теперь подставим это в формулу для радиуса кривизны:

\[ R = \frac{(1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2)^{3/2}}{\left|-\frac{1}{90}\right|} = \frac{(1 + \frac{16}{9})^{3/2}}{\frac{1}{90}} = \frac{\left( \frac{25}{9} \right)^{3/2}}{\frac{1}{90}} = \frac{\left( \frac{5}{3} \right)^3}{\frac{1}{90}} = \frac{\frac{125}{27}}{\frac{1}{90}} = \frac{125 \cdot 90}{27} = 416.67 \ \text{м} \]

Наивысшая точка (\(x = 12000\)):

\[ \frac{dy}{dx}(x = 12000) = 0 \]

Подставляем в формулу \(\frac{dy}{dx} = 0\):

\[ R = \frac{(1 + 0^2)^{3/2}}{\frac{1}{90}} = \frac{1}{\frac{1}{90}} = 90 \ \text{м} \]

• Радиус кривизны в начальной точке: \( R(0) = 416.67 \ \text{м} \)
• Радиус кривизны в наивысшей точке: \( R(12000) = 90 \ \text{м} \)

Ответ: