Найдите угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных за время

Данное задание относится к разделу "Механика", предмет — "Физика", в частности к разделу "Кинематика вращательного движения".

Мы имеем:

• Начальная угловая скорость \( \omega_1 = 240 \, \text{об/мин} \)
• Конечная угловая скорость \( \omega_2 = 120 \, \text{об/мин} \)
• Время торможения \( t = 40 \, \text{с} \)

1. Переведем угловые скорости в рад/с

Чтобы работать с угловыми скоростями правильно, нужно перевести обороты в минуту в радианы в секунду. 1 оборот = \( 2\pi \) радиан. Так как 1 минута = 60 секунд, получаем:

\[ \omega_1 = \frac{240 \, \text{об/мин} \times 2\pi}{60} = \frac{240 \times 2 \pi}{60} = 8 \pi \, \text{рад/с} \]

\[ \omega_2 = \frac{120 \, \text{об/мин} \times 2\pi}{60} = 4 \pi \, \text{рад/с} \]

2. Найдем угловое ускорение

Угловое ускорение \( \alpha \) связано с изменением угловой скорости через формулу:

\[ \alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} \]

Подставим известные значения:

\[ \alpha = \frac{4\pi - 8\pi}{40} = \frac{-4\pi}{40} = -\frac{\pi}{10} \, \text{рад/с}^2 \]

Получаем угловое ускорение \( \alpha = -\frac{\pi}{10} \, \text{рад/с}^2 \), отрицательное значение указывает на торможение.

3. Найдем число оборотов за 40 секунд

Число оборотов связано с угловым перемещением \( \theta \) через выражение:

\[ \theta = \omega_1 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \]

Подставим известные значения:

\[ \theta = 8\pi \times 40 + \frac{1}{2} \times \left(-\frac{\pi}{10}\right) \times 40^2 \]

Считаем сначала каждое слагаемое по отдельности:

\[ \theta = 320\pi + \frac{1}{2} \times -\frac{\pi}{10} \times 1600 \]

\[ \theta = 320\pi - \frac{\pi}{10} \times 800 \]

\[ \theta = 320\pi - 80\pi = 240\pi \, \text{рад} \]

Теперь найдем, сколько это будет в оборотах:

Ответ:

• Угловое ускорение \( \alpha = -\frac{\pi}{10} \, \text{рад/с}^2 \)
• Число оборотов \( N = 120 \)

\[ N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{240\pi}{2\pi} = 120 \, \text{оборотов} \]