Найдите моменты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение

Предмет: Физика

Раздел: Кинематика

Данное уравнение отображает движение точки в зависимости от времени, предоставляемое через \( x(t) = \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \), где \( x \) измеряется в сантиметрах, а \( t \) — в секундах.

Шаг 1: Найдём скорость

Скорость \( v(t) \) — это производная от координаты \( x(t) \) по времени \( t \). Давайте найдем производную данной функции:

\[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right] \]

Используем правило дифференцирования сложной функции:

\[ v(t) = \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \cdot \frac{\pi}{6} \]

Таким образом, выражение для скорости:

\[ v(t) = \frac{\pi}{6} \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \]

Шаг 2: Найдём моменты времени, когда скорость максимальна

Максимальная скорость достигается, когда \( \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 1 \). Это происходит, когда аргумент косинуса равен \( 2k\pi \), где \( k \) — целое число.

\[ \frac{\pi t}{6} = 2k\pi \]

Решим это уравнение:

\[ t = 12k \]

То есть, скорость максимальна при \( t = 0, 12, 24, \dots \), то есть через каждые 12 секунд.

Шаг 3: Найдём ускорение

Ускорение \( a(t) \) — это производная от скорости по времени \( t \). Найдём производную от нашего выражения для скорости:

\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\frac{\pi}{6} \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right] \]

Используем правило дифференцирования косинуса:

\[ a(t) = -\frac{\pi}{6} \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \cdot \frac{\pi}{6} \]

Таким образом, выражение для ускорения:

\[ a(t) = -\frac{\pi^2}{36} \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \]

Шаг 4: Найдём моменты времени, когда ускорение максимальное

Максимальное ускорение достигается, когда \( \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = \pm 1 \). Это происходит, когда аргумент синуса равен \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) — целое число.

\[ \frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

Решим это уравнение:

\[ t = 3 + 6k \]

Ответ:

• Моменты времени, когда скорость максимальна: \( t = 0, 12, 24, \dots \)
• Моменты времени, когда ускорение максимальное: \( t = 3, 9, 15, 21, \dots \)

То есть, ускорение максимальное при \( t = 3, 9, 15, 21, \dots \) — через каждые 6 секунд, начиная с 3 секунд.