Чему равна ширина ямы, если минимальная энергия частица составляет 6 МэВ

Предмет: Квантовая механика

Раздел: Потенциальные ямы (квантовомеханические задачи)

Задание: Необходимо найти ширину одномерной потенциальной ямы на основе минимальной энергии (энергии основного состояния) альфа-частицы. Минимальная энергия задана в 6 МэВ.

---

Шаг 1: Понимание задачи

Задача ставится в контексте бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы. Квантово-механическая задача для частицы в таком типе ямы сводится к нахождению ее энергий на разных уровнях энергии. Собственные значения энергии частицы в бесконечной потенциальной яме записываются как:

\(E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}\),

где:

• E_n — энергия частицы на n-м энергетическом уровне,
• n — количественный номер уровня (для основного состояния n = 1),
• h — постоянная Планка (h \approx 6.626 \times 10^{-34} Дж·с),
• m — масса частицы (для альфа-частицы m_{\alpha} = 4 m_p, где m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} кг — масса протона),
• L — ширина потенциальной ямы.

Условие минимальной энергии предполагает, что рассматривается основной уровень — n = 1.

---

Шаг 2: Массивы и константы

Перед решением задачи необходимо перевести минимальную энергию E_1 = 6 \text{ МэВ} в единицы СИ:

\(1 \text{ МэВ} = 1 \times 10^6 \text{ эВ} = 1.6 \times 10^{-13} \text{ Дж}\), \(E_1 = 6 \text{ МэВ} = 6 \times 1.6 \times 10^{-13} \text{ Дж} = 9.6 \times 10^{-13} \text{ Дж}\).

Также нужно знать массу альфа-частицы, которая равна m_{\alpha} = 4 m_p:

\(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ кг}, \quad m_{\alpha} = 4 m_p = 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \text{ кг} = 6.68 \times 10^{-27} \text{ кг}\).

---

Шаг 3: Вывод формулы для ширины ямы

Необходимо выразить ширину ямы L через энергию E_1. Для n = 1 формула энергии приобретает вид:

\(E_1 = \frac{h^2}{8mL^2}\).

Из этой формулы выразим ширину L:

\(L = \sqrt{\frac{h^2}{8mE_1}}\).

---

Шаг 4: Подстановка значений

Теперь подставим значения констант в формулу:

\(L = \sqrt{\frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times (6.68 \times 10^{-27}) \times (9.6 \times 10^{-13})}}\).

Теперь посчитаем поэтапно:

1. h^2 = (6.626 \times 10^{-34})^2 = 4.39 \times 10^{-67} \text{ Дж}^2 \cdot \text{с}^2,
2. 8m = 8 \times 6.68 \times 10^{-27} = 5.344 \times 10^{-26} \text{ кг},
3. 8mE_1 = 5.344 \times 10^{-26} \times 9.6 \times 10^{-13} = 5.13 \times 10^{-38} \text{ Дж} \cdot \text{кг},
4. Подставляем в формулу: L = \sqrt{\frac{4.39 \times 10^{-67}}{5.13 \times 10^{-38}}} = \sqrt{8.56 \times 10^{-30}} = 9.25 \times 10^{-15} \text{ м}.

---

Ответ:

Ширина потенциальной ямы L \approx 9.25 \times 10^{-15} метров, или 9.25 \, \text{фм} (фемтометров).