Анализ движение твердого тела - вращательного движения диска

Этот вопрос относится к разделу кинематики в физике. Нам предстоит анализировать движение твердого тела - в данном случае вращательного движения диска.

Дано:

Радиус диска \( R = 10 \, \text{см} \). Зависимость угла поворота радиуса диска от времени \( \Phi \) задается уравнением: \[ \Phi(t) = A + Bt^3 \] где \( A = 2 \, \text{рад} \), \( B = 4 \, \text{рад/с}^3 \).

Найти:

1. Угловую скорость на ободе (границе) колеса при \( t = 2 \, \text{с} \).
2. Угловое ускорение на ободе (границе) колеса при \( t = 2 \, \text{с} \).
3. Время \(\Phi(t)\), при котором модуль касательной скорости \(\textbf{L}\) (вектор скорости точки на ободе колеса) равен \(45 \, \text{м/с}\).

Решение:

1. Угловая скорость \(\omega(t) \) при \( t = 2 \, \text{с} \)

Угловая скорость \(\omega\) определяется как производная угла поворота \(\Phi(t)\) по времени: \[ \omega(t) = \frac{d\Phi(t)}{dt} \] В нашем случае: \[ \Phi(t) = A + Bt^3 \] \[ \omega(t) = \frac{d}{dt}(A + Bt^3) = \frac{dA}{dt} + B \cdot \frac{d(t^3)}{dt} \] Поскольку \(A\) - константа, её производная равна нулю: \[ \omega(t) = 0 + B \cdot 3t^2 \] \[ \omega(t) = 3Bt^2 \] При \( t = 2 \, \text{с} \): \[ \omega(2) = 3 \cdot 4 \, (\text{рад/с}^3) \cdot (2\,\text{с})^2 = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48 \, \text{рад/с} \]

2. Угловое ускорение \(\alpha(t)\) при \( t = 2 \, \text{с} \)

Угловое ускорение \(\alpha(t)\) - это производная угловой скорости \(\omega(t)\) по времени: \[ \alpha(t) = \frac{d\omega(t)}{dt} \] Из уравнения угловой скорости: \[ \omega(t) = 3Bt^2 \] Вычислим производную по времени: \[ \alpha(t) = \frac{d}{dt} (3Bt^2) = 3B \cdot \frac{d(t^2)}{dt} = 3B \cdot 2t = 6Bt \] При \( t = 2 \, \text{с} \): \[ \alpha(2) = 6 \cdot 4 \, (\text{рад/с}^3) \cdot 2 \, \text{с} = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48 \, \text{рад/с}^2 \]

3. Определение \(\Phi(t)\) при \( L = 45 \, \text{м/с} \)

Касательная скорость \( \textbf{L} \) связана с угловой скоростью \(\omega\) следующим образом: \[ L = \omega R \] Нам известно: \[ L = 45 \, \text{м/с} \] \[ R = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м} \] Найдем угловую скорость \(\omega\): \[ 45 \, \text{м/с} = \omega \cdot 0.1 \, \text{м} \] \[ \omega = \frac{45 \, \text{м/с}}{0.1 \, \text{м}} = 450 \, \text{рад/с} \] Теперь используем уравнение угловой скорости: \[ \omega(t) = 3Bt^2 \] \[ 450 \, \text{рад/с} = 3 \cdot 4 \, (\text{рад/с}^3) \cdot t^2 \] \[ 450 = 12t^2 \] \[ t^2 = \frac{450}{12} \] \[ t^2 = 37.5 \] \[ t = \sqrt{37.5} \approx 6.12 \, \text{с} \] Найдем \(\Phi(t)\) при \( t = 6.12 \, \text{с} \): \[ \Phi(t) = A + B t^3 \] \[ \Phi(6.12) = 2 \, \text{рад} + 4 \, \text{рад/с}^3 \cdot (6.12 \, \text{с})^3 \] \[ \Phi(6.12) = 2 + 4 \cdot 229.38 \] \[ \Phi(6.12) = 2 + 917.52 = 919.52 \, \text{рад} \] Таким образом, при \(\Phi \approx 919.52 \, \text{рад}\) модуль касательной скорости на ободе колеса будет равен \(45 \, \text{м/с}\).