Определить величину полного ускорения

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика вращательного движения

Условие:
Диск радиуса [ρ = 2 \, \text{м}] вращается по закону [φ = 0.5t^2 - 2t]. Нужно определить полное ускорение точки, лежащей на ободе диска, в момент времени [t = 2 \, \text{с}].

Решение:

Полное ускорение точки на ободе диска определяется как векторная сумма тангенциального и центростремительного ускорений:

$a=\sqrt{a_{\tau }^2+a_r^2}$,

где:

• [a_{\tau}] — тангенциальное ускорение,
• [a_r] — центростремительное ускорение.

1. Найдем угловую скорость и угловое ускорение

Дан закон изменения угла:
$\phi (t)=0.5t^2-2t.$

• Угловая скорость:
  $\omega =\frac{d\phi }{dt}=\frac{d}{dt}(0.5t^2-2t)=t-2.$

• Угловое ускорение:
  $\epsilon =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d}{dt}(t-2)=1{\text{рад/с}}^2.$

2. Найдем тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение точки на ободе диска выражается через угловое ускорение:
$a_{\tau }=\epsilon \cdot \rho .$

Подставляем значения:
$a_{\tau }=1\cdot 2=2{\text{м/с}}^2.$

3. Найдем центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость:
$a_r={\omega }^2\cdot \rho .$

Подставляем [t = 2]:
$\omega =t-2=2-2=0\text{рад/с}.$

Тогда:
$a_r=0^2\cdot 2=0{\text{м/с}}^2.$

4. Полное ускорение

Полное ускорение:
$a=\sqrt{a_{\tau }^2+a_r^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}=2{\text{м/с}}^2.$

Ответ:
Полное ускорение равно [2 \, \text{м/с}^2].