Определить величину полного ускорения

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика вращательного движения

Условие:
Диск радиуса [ρ = 2 \, \text{м}] вращается по закону [φ = 0.5t^2 - 2t]. Нужно определить полное ускорение точки, лежащей на ободе диска, в момент времени [t = 2 \, \text{с}].

Решение:

Полное ускорение точки на ободе диска определяется как векторная сумма тангенциального и центростремительного ускорений:

a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_r^2},

где:

• [a_{\tau}] — тангенциальное ускорение,
• [a_r] — центростремительное ускорение.

1. Найдем угловую скорость и угловое ускорение

Дан закон изменения угла:
φ(t) = 0.5t^2 - 2t.

• Угловая скорость:
  ω = \frac{dφ}{dt} = \frac{d}{dt}(0.5t^2 - 2t) = t - 2.

• Угловое ускорение:
  ε = \frac{dω}{dt} = \frac{d}{dt}(t - 2) = 1 \, \text{рад/с}^2.

2. Найдем тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение точки на ободе диска выражается через угловое ускорение:
a_{\tau} = ε \cdot ρ.

Подставляем значения:
a_{\tau} = 1 \cdot 2 = 2 \, \text{м/с}^2.

3. Найдем центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость:
a_r = ω^2 \cdot ρ.

Подставляем [t = 2]:
ω = t - 2 = 2 - 2 = 0 \, \text{рад/с}.

Тогда:
a_r = 0^2 \cdot 2 = 0 \, \text{м/с}^2.

4. Полное ускорение

Полное ускорение:
a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_r^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \, \text{м/с}^2.

Ответ:
Полное ускорение равно [2 \, \text{м/с}^2].