Определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям ее движения

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика (Определение скорости и ускорения точки по уравнениям движения)

Дано уравнение движения точки:
x(t) = 2 \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right)
y(t) = -3 \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right) + 4
Период времени: 1 \text{ с}

1. Найдем скорость точки

Скорость — это первая производная координат по времени:

 v_x(t) = \frac{dx}{dt} = 2 \cdot \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right) 

 v_y(t) = \frac{dy}{dt} = -3 \cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = \pi \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right) 

Вектор скорости:
 \vec{v}(t) = \left( \frac{2\pi}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right), \pi \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

Модуль скорости:
 v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cos^2 \left(\frac{\pi t}{3}\right) + \pi^2 \sin^2 \left(\frac{\pi t}{3}\right)} 

Раскроем скобки:
 v(t) = \pi \sqrt{\frac{4}{9} \cos^2 \left(\frac{\pi t}{3}\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi t}{3}\right)} 

2. Найдем ускорение точки

Ускорение — это вторая производная координат по времени:

 a_x(t) = \frac{d v_x}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{2\pi}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) = \frac{2\pi}{3} \cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi^2}{9} \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right) 

 a_y(t) = \frac{d v_y}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\pi \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) = \pi \cdot \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right) 

Вектор ускорения:
 \vec{a}(t) = \left(-\frac{2\pi^2}{9} \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right), \frac{\pi^2}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

Модуль ускорения:
 a(t) = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{\left(-\frac{2\pi^2}{9} \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right)\right)^2 + \left(\frac{\pi^2}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right)\right)^2} 

Раскроем скобки:
 a(t) = \pi^2 \sqrt{\frac{4}{81} \sin^2 \left(\frac{\pi t}{3}\right) + \frac{1}{9} \cos^2 \left(\frac{\pi t}{3}\right)} 

Итоги:

• Скорость:
   \vec{v}(t) = \left( \frac{2\pi}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right), \pi \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

• Ускорение:
   \vec{a}(t) = \left(-\frac{2\pi^2}{9} \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right), \frac{\pi^2}{3} \cos \left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

Если нужно, могу построить графики скорости и ускорения. Хотите?