Определить момент времени при котором величина полного ускорения точки на ободе диска равна 2

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика вращательного движения

Условие:

Диск радиуса $\rho =2\text{м}$ вращается по закону $\phi =0.5t^2-2t$. Необходимо найти момент времени $t$, при котором величина полного ускорения точки на ободе диска равна $2{\text{м/с}}^2$.

Решение:

Полное ускорение точки на ободе диска состоит из:

1. Тангенциального ускорения $a_{\text{танг}}=\rho \cdot \epsilon$, где $\epsilon$ — угловое ускорение.
2. Центростремительного ускорения $a_{\text{цс}}=\rho \cdot {\omega }^2$, где $\omega$ — угловая скорость.

Полное ускорение: $a_{\text{полн}}=\sqrt{a_{\text{танг}}^2+a_{\text{цс}}^2}.$

Шаг 1: Найдем угловую скорость $\omega$ и угловое ускорение $\epsilon$.

Угловая скорость: $\omega =\frac{d\phi }{dt}.$ Дифференцируем $\phi =0.5t^2-2t$: $\omega =\frac{d}{dt}(0.5t^2-2t)=t-2.$

Угловое ускорение: $\epsilon =\frac{d\omega }{dt}.$ Дифференцируем $\omega =t-2$: $\epsilon =\frac{d}{dt}(t-2)=1.$

Шаг 2: Выразим тангенциальное и центростремительное ускорения.

Тангенциальное ускорение: $a_{\text{танг}}=\rho \cdot \epsilon =2\cdot 1=2{\text{м/с}}^2.$

Центростремительное ускорение: $a_{\text{цс}}=\rho \cdot {\omega }^2=2\cdot (t-2{)}^2.$

Шаг 3: Найдем момент времени, когда $a_{\text{полн}}=2{\text{м/с}}^2$.

Подставим выражения для $a_{\text{танг}}$ и $a_{\text{цс}}$ в формулу полного ускорения: $a_{\text{полн}}=\sqrt{a_{\text{танг}}^2+a_{\text{цс}}^2}.$ Подставляем значения: $2=\sqrt{2^2+{(2(t-2{)}^2)}^2}.$

Возведем обе части в квадрат: $4=4+4(t-2{)}^4.$

Упростим: $4(t-2{)}^4=0.$

Следовательно: $t-2=0\Rightarrow t=2\text{с}.$

Ответ:

$t=2\text{с}$.