Определить момент времени при котором величина полного ускорения точки на ободе диска равна 2

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика вращательного движения

Условие:

Диск радиуса \rho = 2 \, \text{м} вращается по закону \varphi = 0.5t^2 - 2t. Необходимо найти момент времени t, при котором величина полного ускорения точки на ободе диска равна 2 \, \text{м/с}^2.

Решение:

Полное ускорение точки на ободе диска состоит из:

1. Тангенциального ускорения a_{\text{танг}} = \rho \cdot \varepsilon, где \varepsilon — угловое ускорение.
2. Центростремительного ускорения a_{\text{цс}} = \rho \cdot \omega^2, где \omega — угловая скорость.

Полное ускорение:  a_{\text{полн}} = \sqrt{a_{\text{танг}}^2 + a_{\text{цс}}^2}. 

Шаг 1: Найдем угловую скорость \omega и угловое ускорение \varepsilon.

Угловая скорость:  \omega = \frac{d\varphi}{dt}.  Дифференцируем \varphi = 0.5t^2 - 2t:  \omega = \frac{d}{dt}(0.5t^2 - 2t) = t - 2. 

Угловое ускорение:  \varepsilon = \frac{d\omega}{dt}.  Дифференцируем \omega = t - 2:  \varepsilon = \frac{d}{dt}(t - 2) = 1. 

Шаг 2: Выразим тангенциальное и центростремительное ускорения.

Тангенциальное ускорение:  a_{\text{танг}} = \rho \cdot \varepsilon = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{м/с}^2. 

Центростремительное ускорение:  a_{\text{цс}} = \rho \cdot \omega^2 = 2 \cdot (t - 2)^2. 

Шаг 3: Найдем момент времени, когда a_{\text{полн}} = 2 \, \text{м/с}^2.

Подставим выражения для a_{\text{танг}} и a_{\text{цс}} в формулу полного ускорения:  a_{\text{полн}} = \sqrt{a_{\text{танг}}^2 + a_{\text{цс}}^2}.  Подставляем значения:  2 = \sqrt{2^2 + \left(2(t - 2)^2\right)^2}. 

Возведем обе части в квадрат:  4 = 4 + 4(t - 2)^4. 

Упростим:  4(t - 2)^4 = 0. 

Следовательно:  t - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 2 \, \text{с}. 

Ответ:

t = 2 \, \text{с}.