Найти моменты времени, в которые достигаются: максимальная скорость и максимальное ускорение

Предмет: Физика
Раздел: Кинематика (механика) — движение точки по заданному закону

Дано:

Уравнение движения точки:

x(t) = \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)

Нужно найти:

• Моменты времени, в которые достигаются:
  • максимальная скорость
  • максимальное ускорение

Шаг 1: Найдём скорость

Скорость — это производная координаты по времени:

v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sin\left( \frac{\pi}{6}t \right) \right)

Применим правило дифференцирования сложной функции:

v(t) = \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right)

Шаг 2: Найдём ускорение

Ускорение — это производная скорости по времени:

a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{6} \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) \right)

a(t) = -\frac{\pi^2}{36} \sin\left( \frac{\pi}{6}t \right)

Шаг 3: Найдём моменты времени, когда скорость максимальна

Максимум функции v(t) = \frac{\pi}{6} \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) достигается, когда \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) = 1 или -1 (в зависимости от того, ищем ли мы по модулю или просто максимум).

Если интересует максимальная по модулю скорость, то:

\left| v(t) \right| = \left| \frac{\pi}{6} \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) \right|

Максимум достигается, когда:

\left| \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) \right| = 1

То есть:

\frac{\pi}{6}t = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots

Решим для t:

t = 0, \frac{6}{\pi} \cdot \pi = 6, \frac{6}{\pi} \cdot 2\pi = 12, \dots

Таким образом, максимальная скорость достигается в моменты времени:

t = 0, 6, 12, 18, \dots

(через каждые 6 секунд)

Шаг 4: Найдём моменты времени, когда ускорение максимально

a(t) = -\frac{\pi^2}{36} \sin\left( \frac{\pi}{6}t \right)

Максимум по модулю достигается, когда:

\left| \sin\left( \frac{\pi}{6}t \right) \right| = 1

То есть:

\frac{\pi}{6}t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots

Решим для t:

t = \frac{6}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 3
t = \frac{6}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{2} = 9
t = 15, 21, \dots

Таким образом, максимальное ускорение достигается в моменты времени:

t = 3, 9, 15, 21, \dots

(через каждые 6 секунд, начиная с 3 секунд)

Ответ:

• Максимальная скорость достигается в моменты времени:
  t = 0, 6, 12, 18, \dots

• Максимальное ускорение достигается в моменты времени:
  t = 3, 9, 15, 21, \dots