Найти среднюю плотность планеты

Предмет: Физика

Раздел: Гравитация, планетарные орбиты

Постановка задачи:

Дано:

• Радиус орбиты спутника \( R_{\text{орб}} \) = \( 4.7 \times 10^9 \) м
• Скорость спутника \( v \) = \( 10^4 \) м/с
• Радиус планеты \( R_{\text{план}} \) = \( 1.5 \times 10^8 \) м

Этап 1: Используем закон всемирного тяготения

В центре любой планеты создается гравитационное притяжение, которая обеспечивает поддержание спутника на орбите. Законы Ньютона для такой ситуации приводят к следующей формуле:

\[ F_{\text{грав}} = \frac{G \cdot M \cdot m}{R_{\text{орб}}^2} \]

где:

• \( F_{\text{грав}} \) — гравитационная сила, притягивающая спутник,
• \( G \) — гравитационная постоянная (\( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг·с}^2 \)),
• \( M \) — масса планеты,
• \( m \) — масса спутника,
• \( R_{\text{орб}} \) — радиус орбиты.

Также спутник движется по окружности, и для него выполняется условие центростремительного ускорения:

\[ F_{\text{грав}} = \frac{m \cdot v^2}{R_{\text{орб}}} \]

Этап 2: Сравниваем силы

Приравняем оба выражения для силы:

\[ \frac{G \cdot M \cdot m}{R_{\text{орб}}^2} = \frac{m \cdot v^2}{R_{\text{орб}}} \]

Сократим массу спутника \( m \) и радиус \( R_{\text{орб}} \) по одной из степеней:

\[ \frac{G \cdot M}{R_{\text{орб}}} = v^2 \]

Выразим массу планеты \( M \):

\[ M = \frac{v^2 \cdot R_{\text{орб}}}{G} \]

Подставляем значения:

\[ M = \frac{(10^4)^2 \cdot (4.7 \times 10^9)}{6.674 \times 10^{-11}} \]

Посчитаем численно:

\[ M = \frac{10^8 \cdot 4.7 \times 10^9}{6.674 \times 10^{-11}} = \frac{4.7 \times 10^{17}}{6.674 \times 10^{-11}} \approx 7.04 \times 10^{27} \, \text{кг} \]

Этап 3: Определим среднюю плотность планеты

Теперь, когда у нас есть масса планеты \( M \), можем найти её плотность. Для этого вычислим объём планеты, считая её сферической:

\[ V = \frac{4}{3} \pi R_{\text{план}}^3 \]

Подставляем значение радиуса планеты:

\[ V = \frac{4}{3} \pi \left(1.5 \times 10^8\right)^3 \]

\[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 3.375 \times 10^{24} \approx 1.4137 \times 10^{25} \, \text{м}^3 \]

Теперь можем найти среднюю плотность планеты, используя формулу:

\[ \rho = \frac{M}{V} \]

Подставляем найденную массу и объём:

\[ \rho = \frac{7.04 \times 10^{27}}{1.4137 \times 10^{25}} \approx 498 \, \text{кг/м}^3 \]

Ответ:

Средняя плотность планеты составляет примерно \( \mathbf{498 \, \text{кг/м}^3} \).