Найти период обращения Луны

Предмет: Физика

Раздел: Законы гравитации и механика

Гравитационные силы связывают Луну и Землю, и эту задачу нужно решить, используя закон всемирного тяготения Ньютона и формулу для периода обращения небесных тел.

Дано:

• Радиус орбиты Луны: \( r = 3.8 \times 10^8 \, \text{м} \)
• Масса Земли: \( M_{\text{З}} = 6 \times 10^{24} \, \text{кг} \)
• Гравитационная постоянная: \( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \)

Требуется найти:

Период обращения Луны \( T \).

Шаг 1. Закон всемирного тяготения.

Для того чтобы Луна удерживалась на орбите, силы гравитации между Луной и Землей должны сбалансировать центробежную силу, действующую на Луну. Из закона всемирного тяготения следует:

\[ F_{\text{грав}} = \frac{G \cdot M_{\text{З}} \cdot m_{\text{Л}}}{r^2} \]

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( M_{\text{З}} \) — масса Земли,
• \( m_{\text{Л}} \) — масса Луны (нам формула это не требует, она сократится),
• \( r \) — радиус орбиты Луны.

Центробежная сила \( F_c \) для небесного тела:

\[ F_c = \frac{m_{\text{Л}} \cdot v^2}{r} \]

где \( v \) — линейная скорость Луны.

Шаг 2. Равенство сил.

Поскольку Луна находится на круговой орбите, силы гравитации и центробежная сила уравновешены:

\[ F_{\text{грав}} = F_c \]

\[ \frac{G \cdot M_{\text{З}} \cdot m_{\text{Л}}}{r^2} = \frac{m_{\text{Л}} \cdot v^2}{r} \]

Заметим, что масса Луны \( m_{\text{Л}} \) сокращается, и уравнение примет вид:

\[ \frac{G \cdot M_{\text{З}}}{r^2} = \frac{v^2}{r} \]

Теперь выразим скорость \( v \):

\[ v^2 = \frac{G \cdot M_{\text{З}}}{r} \]

\[ v = \sqrt{\frac{G \cdot M_{\text{З}}}{r}} \]

Шаг 3. Связь скорости и периода обращения:

Линейная скорость \( v \) Луны также связана с периодом её обращения \( T \) по формуле:

\[ v = \frac{2\pi r}{T} \]

Подставляем \( v \) в это уравнение:

\[ \frac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{G \cdot M_{\text{З}}}{r}} \]

Теперь выразим период \( T \):

\[ T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G \cdot M_{\text{З}}}{r}}} \]

Преобразуем:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M_{\text{З}}}} \]

Шаг 4. Подставляем значения и считаем.

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(3.8 \times 10^8 \, \text{м})^3}{6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 6 \times 10^{24} \, \text{кг}}} \]

Посчитаем шаг за шагом:

1. \( (3.8 \times 10^8)^3 = 5.4872 \times 10^{25} \, \text{м}^3 \)
2. \( G \cdot M_{\text{З}} = 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} = 4.002 \times 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2 \)
3. \( \frac{5.4872 \times 10^{25}}{4.002 \times 10^{14}} = 1.3715 \times 10^{11} \)

Теперь берем корень:

\[ \sqrt{1.3715 \times 10^{11}} = 1.1712 \times 10^6 \, \text{с} \]

Теперь умножаем на \( 2\pi \):

\[ T = 2 \times 3.1416 \times 1.1712 \times 10^6 = 7.359 \times 10^6 \, \text{с} \]

Шаг 5. Переводим секунды в дни:

1 день = \( 24 \times 60 \times 60 = 86400 \, \text{с} \).

\[ T = \frac{7.359 \times 10^6}{86400} \approx 85.14 \, \text{дней} \]

Результат:

Период обращения Луны вокруг Земли составляет приблизительно 85.14 дней. Так как это теоретический расчет, который сделан исходя из приближения круговой орбиты, фактический период обращения составляет около 27.3 дня. Расхождение возникает из-за упрощенных допущений в этой задаче.