Найдите период обращения Луны вокруг Земли, если Луна движется по круговой орбите радиусом 3,8·108 м

Предмет: Физика

Раздел: Гравитация, законы движения планет и спутников

Задача:

Найти период обращения Луны вокруг Земли.

• Известно:
• Радиус орбиты Луны \( r = 3,8 \times 10^8 \, \text{м} \),
• Масса Земли \( M = 6 \times 10^{24} \, \text{кг} \).

Решение:

Для решения задачи используем закон всемирного тяготения Ньютона и второй закон Ньютона.

1. Силу гравитационного притяжения между Землей и Луной можно выразить через закон всемирного тяготения: \[ F_{\text{грав}} = \frac{G M m}{r^2} \]

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная (\( G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} \)),
• \( M \) — масса Земли (\( 6 \times 10^{24} \, \text{кг} \)),
• \( m \) — масса Луны (но она нам не понадобится для вычисления).

С другой стороны, Луна движется по круговой орбите, значит на нее действует центростремительная сила:

\[ F_{\text{ц}} = \frac{m v^2}{r} \]

где \( v \) — линейная скорость движения Луны.

Так как силы гравитации и центростремительная сила равны по величине, приравниваем их:

\[ \frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \]

Заметим, что масса Луны \( m \) сокращается:

\[ \frac{G M}{r^2} = \frac{v^2}{r} \]

Умножаем обе стороны на \( r \):

\[ \frac{G M}{r} = v^2 \]

Следовательно, выражаем скорость \( v \):

\[ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \]

Теперь мы знаем, как найти линейную скорость Луны. Далее, период обращения \( T \) можно найти через связь линейной скорости и периода движения по кругу. Луна проходит полный круг длиной \( 2 \pi r \) за время \( T \), значит:

\[ v = \frac{2 \pi r}{T} \]

Подставим \( v \) в это уравнение:

\[ \sqrt{\frac{G M}{r}} = \frac{2 \pi r}{T} \]

Выражаем период \( T \):

\[ T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M}{r}}} \]

Это можно упростить до:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}} \]

Теперь можем подставить значения:

• \( G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} \),
• \( M = 6 \times 10^{24} \, \text{кг} \),
• \( r = 3,8 \times 10^8 \, \text{м} \).

Посчитаем:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{(3,8 \times 10^8)^3}{6,674 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \]

Сначала вычислим числовые значения внутри корня:

\[ r^3 = (3,8 \times 10^8)^3 = 5,4872 \times 10^{25}\, \text{м}^3 \]

\[ G M = 6,674 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} = 4,0044 \times 10^{14} \]

Теперь подставим всё в корень:

\[ \frac{r^3}{GM} = \frac{5,4872 \times 10^{25}}{4,0044 \times 10^{14}} = 1,37 \times 10^{11} \, \text{с}^2 \]

Теперь извлечём квадратный корень:

\[ \sqrt{1,37 \times 10^{11}} = 3,7 \times 10^5 \, \text{с} \]

Теперь умножим это значение на \( 2 \pi \):

\[ T = 2 \times 3,1416 \times 3,7 \times 10^5 = 2,32 \times 10^6 \, \text{с} \]

Переведем секунды в дни:

\[ T = \frac{2,32 \times 10^6}{86400} \approx 26{,}85\, \text{дней} \]

Ответ:

Период обращения Луны вокруг Земли составляет приблизительно \( 27 \) дней.