Найти силу давления воды на вертикально погружённую пластину, имеющую форму эллипса, высотой 4 м и шириной 2 м

Предмет: Физика
Раздел: Гидростатика (давление жидкости на погружённую поверхность)

Условие задачи:

Найти силу давления воды на вертикально погружённую пластину, имеющую форму эллипса, высотой 4 м и шириной 2 м. Пластина полностью погружена в воду. Удельный вес воды:
[ \gamma = 9{,}81 \, \text{кН/м}^3 ]

Цель: найти силу давления воды на пластину через интеграл.

Шаг 1: Теория

Сила давления воды на вертикальную поверхность рассчитывается по формуле:

 [ F = \gamma \int_{A} h(x, y) \, dA ] 

Где:

• [ F ] — полная сила давления,
• [ \gamma ] — удельный вес воды,
• [ h(x, y) ] — глубина точки [ (x, y) ] под поверхностью воды,
• [ dA ] — элемент площади.

Шаг 2: Геометрия эллипса

Пластина имеет форму эллипса с вертикальной осью 4 м и горизонтальной 2 м. Значит, уравнение эллипса в координатах:

 [ \frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 ] 

или

 [ x^2 + \frac{y^2}{4} = 1 ] 

Пусть ось [ y ] направлена вниз, а верхняя точка эллипса находится на глубине 0 м (уровень воды), тогда центр эллипса на глубине 2 м, а нижняя точка — на глубине 4 м.

Шаг 3: Настройка интеграла

Для вертикальной пластины удобно интегрировать по [ y ] от [ -2 ] до [ 2 ] (в координатах эллипса), где [ y ] — вертикальная координата, а глубина воды в точке [ y ] будет:

 [ h(y) = 2 + y ] 

(так как центр эллипса на глубине 2 м, а [ y ] отсчитывается от центра вверх/вниз)

Ширина эллипса на уровне [ y ]:

Из уравнения эллипса:

 [ x = \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} ] 

Тогда элемент площади:

 [ dA = 2x \, dy = 2 \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy ] 

Шаг 4: Подстановка в интеграл

 F = \gamma \int_{-2}^{2} (2 + y) \cdot 2 \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy 

Вынесем [ \gamma ]:

 F = 9{,}81 \cdot \int_{-2}^{2} (2 + y) \cdot 2 \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy 

Шаг 5: Упростим выражение

Разложим:

 F = 9{,}81 \cdot 2 \cdot \int_{-2}^{2} (2 + y) \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy 

Разделим на два слагаемых:

 F = 9{,}81 \cdot 2 \cdot \left[ \int_{-2}^{2} 2 \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy + \int_{-2}^{2} y \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy \right] 

Второй интеграл нечётной функции на симметричном интервале:

 \int_{-2}^{2} y \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy = 0 

Тогда:

 F = 9{,}81 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \int_{-2}^{2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy 

Шаг 6: Вычисление интеграла

Сделаем замену:

 y = 2 \sin\theta \Rightarrow dy = 2 \cos\theta \, d\theta 

При [ y = -2 \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{2} ],
при [ y = 2 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} ]

Тогда:

 \int_{-2}^{2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} \, dy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2\theta} \cdot 2 \cos\theta \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2 \cos^2\theta \, d\theta 

 = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta 

Используем формулу:

 \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} 

Тогда:

 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta 

 = \left[ \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \pi 

Шаг 7: Подставим обратно

 F = 9{,}81 \cdot 4 \cdot \pi = 39{,}24 \cdot \pi \approx 123{,}3 \, \text{кН} 

Округляем:

 \boxed{F \approx 123 \, \text{кН}} 

✅ Ответ:

[ F = 123 \, \text{кН} ]