Найти работу, необходимую для выкачивания воды из усечённой четырехугольной пирамиды

Предмет: Физика
Раздел: Механика → Работа силы тяжести → Гидростатика (выталкивание жидкости)

Условие задачи:

Найти работу, необходимую для выкачивания воды из усечённой четырехугольной пирамиды.
Дано:

• Сторона верхнего основания: 2 м
• Сторона нижнего основания: 4 м
• Высота пирамиды: 1 м
• Удельный вес воды: [\gamma = 9{,}81 \, \text{кН/м}^3]

Шаг 1: Геометрия пирамиды

Усечённая пирамида с квадратными основаниями.
Пусть вертикальная координата [y] отсчитывается снизу вверх, где [y = 0] — нижнее основание, [y = 1] — верхнее основание.

Сторона квадрата на высоте [y] изменяется линейно от 4 м до 2 м.
Обозначим сторону квадрата на высоте [y] как [a(y)].

Поскольку зависимость линейная, то:

 a(y) = 4 - 2y 

(при [y = 0] получаем 4, при [y = 1] получаем 2)

Шаг 2: Выражение для объема тонкого слоя воды

Рассмотрим тонкий горизонтальный слой воды на высоте [y] толщиной [dy].
Площадь сечения на этой высоте:

 A(y) = a(y)^2 = (4 - 2y)^2 = 16 - 16y + 4y^2 

Объем слоя:

 dV = A(y) \, dy = (16 - 16y + 4y^2) \, dy 

Шаг 3: Работа по подъему слоя воды

Каждый слой воды на высоте [y] нужно поднять на расстояние [1 - y] до верхнего основания.

Работа по подъему массы [dV] воды:

 dA = \gamma \cdot (1 - y) \cdot dV = \gamma \cdot (1 - y) \cdot (16 - 16y + 4y^2) \, dy 

Шаг 4: Интегрирование

Полная работа:

 A = \int_0^1 \gamma \cdot (1 - y)(16 - 16y + 4y^2) \, dy 

Раскроем скобки:

 (1 - y)(16 - 16y + 4y^2) = 16(1 - y) - 16y(1 - y) + 4y^2(1 - y) 

Выполним умножение:

• 16(1 - y) = 16 - 16y
• -16y(1 - y) = -16y + 16y^2
• 4y^2(1 - y) = 4y^2 - 4y^3

Сложим:

 16 - 16y - 16y + 16y^2 + 4y^2 - 4y^3 = 16 - 32y + 20y^2 - 4y^3 

Теперь подставим в интеграл:

 A = \gamma \cdot \int_0^1 (16 - 32y + 20y^2 - 4y^3) \, dy 

Вычислим интеграл:

 \int_0^1 16 \, dy = 16 \ \int_0^1 32y \, dy = 16 \ \int_0^1 20y^2 \, dy = \frac{20}{3} \ \int_0^1 4y^3 \, dy = 1 

Подставим:

 A = \gamma \cdot \left(16 - 16 + \frac{20}{3} - 1\right) = \gamma \cdot \left(\frac{17}{3}\right) 

Теперь подставим \gamma = 9{,}81 кН/м³:

 A = 9{,}81 \cdot \frac{17}{3} \approx 9{,}81 \cdot 5{,}6667 \approx 55{,}6 \, \text{кДж} 

Округляем:

 A \approx 56 \, \text{кДж} 

✅ Ответ:

[A = 56 \, \text{кДж}] — совпадает с ответом в задаче.