Найти массу льдины

Предмет: Физика

Раздел: Гидростатика

Условие задачи:

• Высота льдины, выступающая над водой, \( h_1 = 2 \ \text{см} = 0.02 \ \text{м} \)
• Площадь основания льдины: \( S = 200 \text{см}^2 = 200 \times 10^{-4} \ \text{м}^2 = 0.02 \ \text{м}^2 \)
• Плотность льда: \( \rho_{\text{лед}} = 0.9 \times 10^3 \ \text{кг/м}^3 = 900 \ \text{кг/м}^3 \)
• Плотность воды: \( \rho_{\text{вода}} = 1000 \ \text{кг/м}^3 \)

Задача:

Найти массу льдины (\( m \)).

Решение:

Когда тело плавает на поверхности воды, на него действуют две силы:

1. Сила тяжести \( F_{\text{тяж}} \), которая пропорциональна массе тела.
2. Сила Архимеда \( F_{\text{А}} \), которая пропорциональна объему вытесненной воды.

Для плавающего тела выполняется условие равновесия:

\[ F_{\text{тяж}} = F_{\text{арх}} \]

1. Сила тяжести:

\( F_{\text{тяж}} = mg \), где \( m \) — масса льдины, а \( g \) — ускорение свободного падения.

2. Сила Архимеда:

\( F_{\text{арх}} = \rho_{\text{вода}} V_{\text{погруж}} g \), где \( V_{\text{погруж}} \) — объем погруженной части льдины, а \( \rho_{\text{вода}} \) — плотность воды.

Обозначим общую высоту льдины \( h_{\text{общ}} = h_{\text{погруж}} + h_1 \), где:

• \( h_{\text{погруж}} \) — высота погруженной части,
• \( h_1 \) — высота выступающей над водой части льдины.

Этап 1: Определим высоту погруженной части

Отношение плотностей льда и воды связано с отношением высот погруженной и всей льдины:

\[ \frac{h_{\text{погруж}}}{h_{\text{общ}}} = \frac{\rho_{\text{лед}}}{\rho_{\text{вода}}} \]

Подставляя известные значения:

\[ \frac{h_{\text{погруж}}}{h_{\text{погруж}} + h_1} = \frac{900}{1000} = 0.9 \]

Решаем уравнение:

\[ h_{\text{погруж}} = 0.9 (h_{\text{погруж}} + h_1) \]

\[ h_{\text{погруж}} = 0.9 h_{\text{погруж}} + 0.9 h_1 \]

\[ 0.1 h_{\text{погруж}} = 0.9 h_1 \]

\[ h_{\text{погруж}} = \frac{0.9 h_1}{0.1} = 9 h_1 \]

Подставим \( h_1 = 0.02 \ \text{м} \):

\[ h_{\text{погруж}} = 9 \times 0.02 = 0.18 \ \text{м} \]

Теперь можем найти всю высоту льдины:

\[ h_{\text{общ}} = h_{\text{погруж}} + h_1 = 0.18 + 0.02 = 0.20 \ \text{м} \]

Этап 2: Найдём объём льдины

Объём льдины можно найти через произведение высоты и площади основания:

\[ V_{\text{лед}} = S \cdot h_{\text{общ}} = 0.02 \times 0.20 = 0.004 \ \text{м}^3 \]

Этап 3: Найдём массу льдины

Масса льдины определяется по формуле:

\[ m = \rho_{\text{лед}} \cdot V_{\text{лед}} = 900 \ \text{кг/м}^3 \times 0.004 \ \text{м}^3 = 3.6 \ \text{кг} \]

Ответ:

Масса льдины составляет \( 3.6 \ \text{кг} \).