Найти зависимость скорости от расстояния от оси цилиндра

Предмет: Физика
Раздел: Гидродинамика (в частности, течение вязкой жидкости по трубе — задача о ламинарном течении, решение уравнения Навье-Стокса для осесимметричного потока)

Условие задачи:

В прямолинейной трубе радиуса ( R ) течёт жидкость. Скорость течения ( v ) каждого слоя жидкости увеличивается с приближением этого слоя к центру трубы. Требуется найти зависимость скорости ( v(r) ) от расстояния ( r ) от оси цилиндра.

Решение:

Рассматриваем ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе. Такое течение описывается уравнением Навье-Стокса. В данном случае задача сводится к нахождению распределения скорости в стационарном потоке.

Считаем, что течение установившееся, осесимметричное, и скорость зависит только от расстояния до оси трубы ( r ), то есть ( v = v(r) ), и направлена вдоль оси трубы.

1. Уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах:

Для осесимметричного стационарного потока в цилиндрической трубе уравнение Навье-Стокса упрощается до:

 \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{dv}{dr} \right) = \frac{1}{\eta} \frac{dp}{dz} 

где:

• v = v(r) — скорость жидкости вдоль оси трубы,
• \eta — коэффициент динамической вязкости,
• \frac{dp}{dz} — градиент давления вдоль оси трубы (он постоянен),
• r — расстояние от оси трубы.

Обозначим \frac{dp}{dz} = -P, где P > 0 (давление убывает вдоль трубы). Тогда:

 \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{dv}{dr} \right) = -\frac{P}{\eta} 

2. Интегрируем уравнение:

Умножим обе части на r:

 \frac{d}{dr} \left( r \frac{dv}{dr} \right) = -\frac{P}{\eta} r 

Интегрируем по r:

 r \frac{dv}{dr} = -\frac{P}{2\eta} r^2 + C_1 

Разделим на r:

 \frac{dv}{dr} = -\frac{P}{2\eta} r + \frac{C_1}{r} 

Интегрируем ещё раз:

 v(r) = -\frac{P}{4\eta} r^2 + C_1 \ln r + C_2 

3. Физический смысл и граничные условия:

Скорость должна быть конечной на оси трубы (r = 0). Но \ln r стремится к -\infty при r \to 0, значит C_1 = 0.

Также известно, что на стенке трубы (при r = R) скорость равна нулю: v(R) = 0.

Подставим:

 0 = -\frac{P}{4\eta} R^2 + C_2 \Rightarrow C_2 = \frac{P}{4\eta} R^2 

4. Итоговое выражение:

 v(r) = \frac{P}{4\eta} (R^2 - r^2) 

Ответ:

Зависимость скорости потока жидкости от расстояния до оси трубы имеет вид:

 v(r) = \frac{P}{4\eta} (R^2 - r^2) 

Это параболическое распределение скорости, типичное для ламинарного течения в трубе (течение Пуазейля).