Найти максимальное количество крови, которое может пройти через аорту за 2 секунды, при условии, что течение остается ламинарным

Предмет: Физика

Раздел: Гидродинамика (ламинарное и турбулентное течение)

Дано:

• Диаметр аорты \(D = 2\) см = \(0.02\) м,
• Вязкость крови \(\eta = 5 \cdot 10^{-3}\) Па·с,
• Число Рейнольдса для перехода от ламинарного к турбулентному течению \(Re = 2300\),
• Нужно найти максимальное количество крови, которое может пройти через аорту за 2 секунды, при условии, что течение остается ламинарным.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для числа Рейнольдса:

\[ Re = \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\eta} \]

где:

• \(Re\) — число Рейнольдса (2300 в данном случае),
• \(\rho\) — плотность крови (определим её как \(\rho \approx 1060 \text{ кг/м}^3\), стандартное значение),
• \(v\) — скорость потока крови (это как раз то, что мы будем искать),
• \(D\) — диаметр аорты,
• \(\eta\) — вязкость крови.

Первый шаг: Найдем максимальную скорость потока крови

Из формулы для числа Рейнольдса выразим скорость потока \(v\):

\[ v = \frac{Re \cdot \eta}{\rho \cdot D} \]

Подставляем известные данные:

\[ v = \frac{2300 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{1060 \cdot 0.02} = \frac{11.5}{21.2} \approx 0.542 \text{ м/с} \]

Второй шаг: Найдем максимальное количество крови, которое проходит через аорту

Теперь, когда у нас есть максимальная скорость \(v = 0.542\) м/с, можно рассчитать объёмный расход (количество жидкости, проходящее через сечение трубы за секунду). Для этого воспользуемся уравнением:

\[ Q = v \cdot A \]

где:

• \(Q\) — объёмный расход,
• \(v\) — скорость потока,
• \(A\) — площадь поперечного сечения аорты.

Площадь поперечного сечения аорты (она круглая) можно рассчитать по формуле площади круга:

\[ A = \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2 \]

Подставляем:

\[ A = \pi \cdot \left(\frac{0.02}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.01)^2 = 3.14 \cdot 10^{-4} \approx 3.14 \cdot 10^{-4} \, м^2 \]

Теперь найдем \(Q\):

\[ Q = 0.542 \cdot 3.14 \cdot 10^{-4} \approx 1.7 \cdot 10^{-4} \, м^3/с \]

Это количество крови, проходящее через аорту за одну секунду.

Третий шаг: Найдем, сколько крови пройдет за 2 секунды

Для этого нужно просто умножить расход \(Q\) на 2 секунды:

\[ Q_{\text{за 2 с}} = 1.7 \cdot 10^{-4} \cdot 2 = 3.4 \cdot 10^{-4} \, м^3 \]

Так как \(1 м^3 = 1000\) литров, переведем объём в литры:

\[ 3.4 \cdot 10^{-4} \, м^3 = 3.4 \cdot 10^{-4} \cdot 1000 = 0.34 \, литра \]

Ответ:

Максимальное количество крови, которое может пройти через аорту за 2 секунды при условии ламинарного течения, составляет 0.34 литра.