Найти изменение оптической длины пути луча

Предмет: Физика
Раздел: Оптика, геометрическая оптика, оптический путь

Условие задачи:

Луч света проходит через стеклянную пластинку толщиной [d = 20\ \mu\text{м} = 20 \cdot 10^{-6}\ \text{м}], преломляющий показатель стекла [n = 1{,}5], воздух — [n_0 = 1]. Нужно найти изменение оптической длины пути луча (оптического хода) при двух случаях падения:

а) нормальное падение;
б) падение под углом [60^\circ].

Теория

Оптическая длина пути (оптический ход) — это произведение геометрической длины пути в среде на показатель преломления этой среды:

 L = n \cdot d 

Изменение оптического хода по сравнению с прохождением того же расстояния в воздухе:

 \Delta L = n \cdot d - n_0 \cdot d = (n - 1) \cdot d 

Если луч падает под углом, то его путь в среде увеличивается, и нужно учитывать угол преломления по закону Снеллиуса:

 n_0 \cdot \sin \theta_0 = n \cdot \sin \theta 

Решение

а) Нормальное падение

При нормальном падении угол [\theta_0 = 0], значит, луч проходит по прямой, и его путь в стекле равен [d].

Тогда:

 \Delta L = (n - 1) \cdot d = (1{,}5 - 1) \cdot 20 \cdot 10^{-6} = 0{,}5 \cdot 20 \cdot 10^{-6} = 10 \cdot 10^{-6} = 10\ \mu\text{м} 

Ответ a): Оптический ход увеличится на [10\ \mu\text{м}].

б) Падение под углом [60^\circ]

1. Найдём угол преломления [\theta] из закона Снеллиуса:

 n_0 \cdot \sin 60^\circ = n \cdot \sin \theta 

 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1{,}5 \cdot \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,577} 

 \theta \approx \arcsin(0{,}577) \approx 35{,}2^\circ 

2. Геометрическая длина пути в стекле при прохождении под углом:

 d' = \frac{d}{\cos \theta} = \frac{20 \cdot 10^{-6}}{\cos(35{,}2^\circ)} \approx \frac{20 \cdot 10^{-6}}{0{,}817} \approx 24{,}48 \cdot 10^{-6}\ \text{м} 

3. Оптический путь:

 L = n \cdot d' = 1{,}5 \cdot 24{,}48 \cdot 10^{-6} \approx 36{,}72 \cdot 10^{-6}\ \text{м} 

4. Путь, если бы луч шёл по воздуху (по прямой):

 L_0 = d' \cdot 1 = 24{,}48 \cdot 10^{-6}\ \text{м} 

5. Изменение оптического хода:

 \Delta L = L - L_0 = (n - 1) \cdot d' = 0{,}5 \cdot 24{,}48 \cdot 10^{-6} \approx 12{,}24\ \mu\text{м} 

Ответ б): Оптический ход увеличится на примерно [12{,}24\ \mu\text{м}].

Итог:

• а) при нормальном падении: [\Delta L = 10\ \mu\text{м}]
• б) при падении под углом [60^\circ]: [\Delta L \approx 12{,}24\ \mu\text{м}]