Вычисление электрической напряженности, создаваемой распределением заряда

Определение предмета и раздела

Это задача по физике, точнее по разделу электростатики. Тема задачи — вычисление электрической напряженности, создаваемой распределением заряда. Теперь давайте решим задачу.

Шаг 1: Анализ задачи

Заряд распределен по окружности радиусом \( R = 46 \) см. Линейная плотность заряда зависит от угла \( \vartheta \) по закону \( \lambda = a \cos\vartheta \), где \( a = 46 \) пКл/см. Нужно найти проекцию электрической напряженности на ось X в центре \( O \) окружности.

Шаг 2: Формулы

Электрическое поле от элемента заряда \( dq \) на малом участке окружности можно вычислить по формуле:

\[ d \mathbf{E} = k_e \, \frac{dq}{r^2}, \]

где:

• \( d \mathbf{E} \) — напряженность от элементарного заряда,
• \( dq \) — элементарный заряд,
• \( r \) — расстояние от \( dq \) до точки наблюдения (в нашем случае это \( R \)),
• \( k_e \) — электрическая постоянная, \( k_e = 9 \times 10^9 \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \).

Элементарный заряд \( dq \) можно выразить через линейную плотность заряда \( \lambda \):

\[ dq = \lambda(\vartheta) \, R \, d\vartheta = a \cos \vartheta R \, d\vartheta. \]

Теперь нужно выразить проекцию \( dE_x \) на ось \( X \). Поскольку электрическое поле от каждого элементарного заряда направлено вдоль линии от заряда к точке \( O \), то проекция на ось \( X \) будет равна:

\[ dE_x = dE \cos\vartheta = k_e \frac{dq}{R^2} \cos\vartheta = \frac{k_e a R \cos^2\vartheta \, d\vartheta}{R^2}. \]

Шаг 3: Интегрирование по окружности

Теперь нужно просуммировать по всей окружности, т.е. интегрировать от \( \vartheta = -\pi \) до \( \vartheta = \pi \):

\[ E_x = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{k_e a \cos^2 \vartheta \, d\vartheta}{R}. \]

Применим стандартную тригонометрическую формулу для косинуса в квадрате:

\[ \cos^2 \vartheta = \frac{1 + \cos(2\vartheta)}{2}. \]

Подставляем это в интеграл:

\[ E_x = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{k_e a}{2R} (1 + \cos 2\vartheta) \, d\vartheta. \]

Теперь решим интегралы:

\[ \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, d\vartheta = 2\pi, \]

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2\vartheta \, d\vartheta = 0. \]

Таким образом, электрическая напряженность на оси X равна:

\[ E_x = \frac{k_e a}{2R} \cdot 2\pi = \frac{k_e a \pi}{R}. \]

Шаг 4: Подстановка значений

Подставляем известные значения:

\[ k_e = 9 \times 10^9 \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}, \]

\[ a = 46 \times 10^{-12} \, \frac{\text{Кл}}{\text{см}} = 46 \times 10^{-10} \, \frac{\text{Кл}}{\text{м}}, \]

\[ R = 46 \times 10^{-2} \, \text{м}. \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ E_x = \frac{9 \times 10^9 \times 46 \times 10^{-10} \times 3.1416}{46 \times 10^{-2}}. \]

Производим вычисления:

\[ E_x = \frac{9 \times 46 \times 3.1416}{46} \times 10^3 = 9 \times 3.1416 \times 10^3 \approx 28.27 \times 10^3. \]

Ответ:

\[ E_x \approx 28.3 \, \text{кВ/м}. \]

Окончательный ответ

Проекция электрической напряженности на ось X в центре окружности: \( E_x \approx 28.3 \, \text{кВ/м} \).