Требуется определить напряженность электрического поля трех бесконечных заряженных плоскостей в точках

Предмет: Физика

Раздел: Электростатика

Рассмотрим задачу №5. Требуется определить напряженность электрического поля трех бесконечных заряженных плоскостей в точках ( A ), ( B ), ( C ) и ( D ) (рис. 4).

Дано:

На рисунке изображены три бесконечно большие плоскости с поверхностными плотностями заряда:

• Первая плоскость: [\sigma_1 = +2\sigma],
• Вторая плоскость: [\sigma_2 = -\sigma],
• Третья плоскость: [\sigma_3 = +3\sigma].

Необходимо найти напряженность электрического поля в точках ( A ), ( B ), ( C ) и ( D ).

Теория:

Напряженность электрического поля бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда [\sigma] определяется формулой:

E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},

где:

• [\varepsilon_0] — электрическая постоянная.

Направление поля определяется знаком заряда:

• Для положительного заряда поле направлено от плоскости.
• Для отрицательного заряда поле направлено к плоскости.

Решение:

Находим результирующую напряженность электрического поля в каждой точке, суммируя вклады от всех трех плоскостей. Учтем направления полей.

1. Точка ( A ):

   • Вклад от плоскости 1 ([\sigma_1 = +2\sigma]):
     Поле направлено вправо.
     E_1 = \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 2 ([\sigma_2 = -\sigma]):
     Поле направлено влево.
     E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 3 ([\sigma_3 = +3\sigma]):
     Поле направлено вправо.
     E_3 = \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.

2. Суммарное поле:
   E_A = E_1 - E_2 + E_3 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
   Направление: вправо.

3. Точка ( B ):

   • Вклад от плоскости 1 ([\sigma_1 = +2\sigma]):
     Поле направлено вправо.
     E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 2 ([\sigma_2 = -\sigma]):
     Поле направлено влево.
     E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 3 ([\sigma_3 = +3\sigma]):
     Поле направлено влево.
     E_3 = \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.

4. Суммарное поле:
   E_B = E_1 - E_2 - E_3 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
   Направление: влево.

5. Точка ( C ):

   • Вклад от плоскости 1 ([\sigma_1 = +2\sigma]):
     Поле направлено влево.
     E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 2 ([\sigma_2 = -\sigma]):
     Поле направлено вправо.
     E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 3 ([\sigma_3 = +3\sigma]):
     Поле направлено влево.
     E_3 = \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.

6. Суммарное поле:
   E_C = -E_1 + E_2 - E_3 = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
   Направление: влево.

7. Точка ( D ):

   • Вклад от плоскости 1 ([\sigma_1 = +2\sigma]):
     Поле направлено влево.
     E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 2 ([\sigma_2 = -\sigma]):
     Поле направлено вправо.
     E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
   • Вклад от плоскости 3 ([\sigma_3 = +3\sigma]):
     Поле направлено вправо.
     E_3 = \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.

8. Суммарное поле:
   E_D = -E_1 + E_2 + E_3 = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
   Направление: вправо.

Ответ:

• В точке ( A ): [E_A = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0}], направление вправо.
• В точке ( B ): [E_B = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}], направление влево.
• В точке ( C ): [E_C = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}], направление влево.
• В точке ( D ): [E_D = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0}], направление вправо.