Рассчитать силу, действующую на равномерно заряженный стержень со стороны нити

Предмет: Физика

Раздел физики: Электростатика

Задача:

У нас есть длинная тонкая нить и стержень, оба заряжены с определенной линейной плотностью заряда. Необходимо рассчитать силу, действующую на равномерно заряженный стержень со стороны нити.

Дано:

1. Линейная плотность заряда нити: \( \tau = 400 \, \text{нКл/м} = 400 \times 10^{-9} \, \text{Кл/м} \).
2. Линейная плотность заряда стержня: \( \tau_1 = 10 \, \text{нКл/м} = 10 \times 10^{-9} \, \text{Кл/м} \).
3. Длина стержня: \( l = 0.2 \, \text{м} \).
4. Расстояние между ближайшим концом стержня и нитью: \( x_0 = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} \).

Необходимо определить силу взаимодействия электростатического происхождения, действующую на стержень со стороны нити.

Решение:

Задачу будем решать с использованием принципа суперпозиции, то есть разобьем стержень на небольшие элементарные участки и просуммируем взаимодействие каждого из этих участков с равномерно заряженной нитью.

1. Электрическое поле от нити.

   Согласно закону электрического поля от тонкой прямой линии с зарядами, напряженность электрического поля на расстоянии \( x \) от нити рассчитывается по формуле:

   \[ E(x) = \frac{2k \tau}{x} \]

   где \( k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2 \) — электростатическая постоянная, а \( x \) — расстояние от точечного элемента стержня до нити.

2. Сила, действующая на элемент стержня.

   Рассмотрим элемент стержня длиной \( \text{d}l \) и зарядом \( \text{d}q = \tau_1 \, \text{d}l \). Тогда сила, действующая на этот элемент стержня, запишется как:

   \[ \text{d}F = \text{d}q \cdot E(x) = \tau_1 \text{d}l \cdot \frac{2k \tau}{x} \]

   Однако расстояние \( x \) от каждого элемента стержня до нити меняется в зависимости от положения частицы на стержне. Для элемента стержня в положении \( l \) (где \( l \) — расстояние от начала стержня), оно изменяется от \( x_0 \) до \( x_0 + l \), то есть для элемента длиной \( \text{d}l \), который находится в положении \( l \), расстояние до нити равно \( x = x_0 + l \).

3. Полная сила.

   Чтобы найти полную силу, необходимо просуммировать (интегрировать) по всем элементам стержня:

   \[ F = \int_0^l \frac{2k \tau \tau_1 \, \text{d}l}{x_0 + l} \]

   Это интеграл вида:

   \[ F = 2k \tau \tau_1 \int_0^l \frac{\text{d}l}{x_0 + l} \]

   Этот интеграл решается стандартным способом:

   \[ \int \frac{\text{d}l}{x_0 + l} = \ln(x_0 + l) \]

   Подставляем пределы интегрирования от \( 0 \) до \( l \):

   \[ F = 2k \tau \tau_1 [\ln(x_0 + l) - \ln(x_0)] = 2k \tau \tau_1 \ln\left( \frac{x_0 + l}{x_0} \right) \]

4. Подставляем значения:

   \[ F = 2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot 400 \times 10^{-9} \cdot 10 \times 10^{-9} \cdot \ln\left( \frac{0.05 + 0.2}{0.05} \right) \]

   Сначала вычислим логарифм:

   \[ \ln\left( \frac{0.05 + 0.2}{0.05} \right) = \ln(5) \approx 1.609 \]

   Теперь подставим числовые значения:

   \[ F = 2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot 400 \times 10^{-9} \cdot 10 \times 10^{-9} \cdot 1.609 \]

   \[ F \approx 2 \cdot 9 \cdot 400 \cdot 10 \cdot 1.609 \times 10^{-18} = 11577.6 \times 10^{-18} = 1.15776 \times 10^{-14} \, \text{Н} \]

Ответ:

Сила, действующая на стержень, составляет приблизительно \(\ F \approx 1.16 \times 10^{-14} \, \text{Н} \ \).