Построить результирующий вектор напряженности электрического поля в точке ( A ) и рассчитать суммарный потенциал в точке

Предмет: Физика

Раздел: Электростатика

Задача: Построить результирующий вектор напряженности электрического поля в точке ( A ) и рассчитать суммарный потенциал в точке ( A ).

Дано:

1. Заряды:
   • ( Q_1 = +2 \, \text{нКл} ),
   • ( Q_2 = -1 \, \text{нКл} ),
   • ( Q_3 = +1 \, \text{нКл} ).
2. Расстояние между соседними узлами сетки: ( a = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} ).

Точка ( A ) находится на диагонали сетки, на расстоянии ( a ) от ( Q_3 ), и на расстоянии ( \sqrt{2}a ) от ( Q_1 ) и ( Q_2 ).

Шаг 1. Вычисление напряженности электрического поля от каждого заряда.

Напряженность электрического поля от точечного заряда вычисляется по формуле: E = k \cdot \frac{|Q|}{r^2}, где:

• ( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2 ) — электрическая постоянная,
• ( Q ) — заряд,
• ( r ) — расстояние от заряда до точки наблюдения.

1.1. Напряженность от ( Q_1 ):

Расстояние от ( Q_1 ) до точки ( A ):
r_{Q_1} = \sqrt{2}a = \sqrt{2} \cdot 0.05 = 0.0707 \, \text{м}.

Напряженность: E_{Q_1} = k \cdot \frac{|Q_1|}{r_{Q_1}^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9}}{(0.0707)^2} = 3.6 \cdot 10^3 \, \text{Н/Кл}.

1.2. Напряженность от ( Q_2 ):

Расстояние от ( Q_2 ) до точки ( A ):
r_{Q_2} = \sqrt{2}a = 0.0707 \, \text{м}.

Напряженность: E_{Q_2} = k \cdot \frac{|Q_2|}{r_{Q_2}^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1 \cdot 10^{-9}}{(0.0707)^2} = 1.8 \cdot 10^3 \, \text{Н/Кл}.

1.3. Напряженность от ( Q_3 ):

Расстояние от ( Q_3 ) до точки ( A ):
r_{Q_3} = a = 0.05 \, \text{м}.

Напряженность: E_{Q_3} = k \cdot \frac{|Q_3|}{r_{Q_3}^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1 \cdot 10^{-9}}{(0.05)^2} = 3.6 \cdot 10^3 \, \text{Н/Кл}.

Шаг 2. Построение вектора результирующей напряженности.

Напряженности ( E_{Q1} ), ( E{Q2} ), ( E{Q_3} ) направлены:

• ( E_{Q_1} ) — от ( Q_1 ) (вектор направлен вправо и вверх),
• ( E_{Q_2} ) — к ( Q_2 ) (вектор направлен влево и вверх),
• ( E_{Q_3} ) — от ( Q_3 ) (вектор направлен вправо).

Разложение на оси:

1. Горизонтальная составляющая: E_x = E_{Q_1x} - E_{Q_2x} + E_{Q_3}, где: E_{Q_1x} = E_{Q_1} \cdot \cos(45^\circ), \, E_{Q_2x} = E_{Q_2} \cdot \cos(45^\circ).

Подставим значения: E_x = 3.6 \cdot 10^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1.8 \cdot 10^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3.6 \cdot 10^3 = 5.7 \cdot 10^3 \, \text{Н/Кл}.

2. Вертикальная составляющая: E_y = E_{Q_1y} + E_{Q_2y}, где: E_{Q_1y} = E_{Q_1} \cdot \sin(45^\circ), \, E_{Q_2y} = E_{Q_2} \cdot \sin(45^\circ).

Подставим значения: E_y = 3.6 \cdot 10^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1.8 \cdot 10^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3.6 \cdot 10^3 \, \text{Н/Кл}.

Результирующий вектор:

E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(5.7 \cdot 10^3)^2 + (3.6 \cdot 10^3)^2} = 6.8 \cdot 10^3 \, \text{Н/Кл}.

Угол направления: \tan \theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{3.6 \cdot 10^3}{5.7 \cdot 10^3} \approx 0.63, \, \theta \approx 32^\circ.

Шаг 3. Расчет потенциала в точке ( A ).

Потенциал от точечного заряда: \varphi = k \cdot \frac{Q}{r}.

Суммарный потенциал: \varphi_A = \varphi_{Q_1} + \varphi_{Q_2} + \varphi_{Q_3}, где:

• \varphi_{Q_1} = k \cdot \frac{Q_1}{r_{Q_1}} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9}}{0.0707} = 2.55 \cdot 10^2 \, \text{В},
• \varphi_{Q_2} = k \cdot \frac{Q_2}{r_{Q_2}} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-1 \cdot 10^{-9}}{0.0707} = -1.275 \cdot 10^2 \, \text{В},
• \varphi_{Q_3} = k \cdot \frac{Q_3}{r_{Q_3}} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1 \cdot 10^{-9}}{0.05} = 1.8 \cdot 10^2 \, \text{В}.

Сумма: \varphi_A = 2.55 \cdot 10^2 - 1.275 \cdot 10^2 + 1.8 \cdot 10^2 = 3.075 \cdot 10^2 \, \text{В}.

Ответ:

1. Результирующая напряженность:
   E = 6.8 \cdot 10^3 \, \text{Н/Кл}, \, \theta \approx 32^\circ.
2. Суммарный потенциал:
   \varphi_A = 3.075 \cdot 10^2 \, \text{В}.