Определите напряженность поля в произвольной точке

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика

Рассмотрим задачу, связанную с электрическим полем двух точечных зарядов.

Условие:

Имеются два точечных заряда: Q_1 = -Q и Q_2 = +Q, расположенные на расстоянии \ell друг от друга.
Ось X проходит через оба заряда. Заряды находятся симметрично относительно начала координат:

• Q_1 = -Q находится в точке (- \ell/2, 0),
• Q_2 = +Q находится в точке (+ \ell/2, 0).

Часть 1: Напряженность поля на оси X

Электрическое поле от точечного заряда

Электрическое поле от точечного заряда q в точке на расстоянии r от него:

 \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \hat{r} 

где:

• \varepsilon_0 — электрическая постоянная,
• \hat{r} — единичный вектор направления от заряда к точке наблюдения.

Пусть точка наблюдения имеет координату x на оси X

• Расстояние до Q_1 = -Q (в точке - \ell/2):
  r_1 = x + \ell/2

• Расстояние до Q_2 = +Q (в точке + \ell/2):
  r_2 = x - \ell/2

Теперь найдем проекцию напряженности на ось X от каждого заряда:

• Поле от Q_1 = -Q в точке x направлено к заряду (так как заряд отрицательный), т.е. в сторону -x если x > -\ell/2.
• Поле от Q_2 = +Q направлено от заряда, т.е. в сторону +x если x > \ell/2.

Итак, суммарное поле на оси X:

 E_x(x) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{(x - \ell/2)^2} - \frac{Q}{(x + \ell/2)^2} \right] 

Это выражение описывает зависимость напряженности поля на оси X.

График функции E_x(x)

Заметим:

• При x = 0, поле равно нулю, так как заряды противоположны и симметричны.
• При x \to +\infty и x \to -\infty, поле стремится к нулю.
• Функция не определена в точках x = \pm \ell/2 — там находятся заряды, и поле стремится к бесконечности.

Тип графика: нечетная функция, симметрична относительно начала координат.

Часть 2: Напряженность поля на оси Y

Пусть точка наблюдения имеет координаты (0, y), т.е. лежит на оси Y.

• Расстояние от точки до каждого заряда:

 r = \sqrt{(\ell/2)^2 + y^2} 

• Поле от каждого заряда направлено вдоль радиус-вектора от заряда к точке. Из-за симметрии, горизонтальные (X) компоненты поля от двух зарядов сокращаются.

Рассчитаем вертикальную (Y) компоненту поля. Для каждого заряда:

• Поле от Q_2 = +Q:

 \vec{E}_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \cdot \cos\theta \cdot \hat{y} 

• Поле от Q_1 = -Q:

 \vec{E}_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-Q}{r^2} \cdot \cos\theta \cdot \hat{y} 

Но обе компоненты направлены в одну сторону (от +Q и к -Q), поэтому складываются:

 E_y = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2Q}{r^2} \cdot \frac{y}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2Qy}{\left( y^2 + (\ell/2)^2 \right)^{3/2}} 

Ответ:

1. Напряженность поля на оси X:

 E_x(x) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{(x - \ell/2)^2} - \frac{Q}{(x + \ell/2)^2} \right] 

График: нечетная функция с разрывами в точках x = \pm \ell/2, поле убывает на бесконечности, и в центре x = 0 поле равно нулю.

2. Напряженность поля на оси Y:

 E_y(y) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2Qy}{\left( y^2 + (\ell/2)^2 \right)^{3/2}} 

Поле направлено вдоль оси Y (вверх при y > 0, вниз при y < 0).