Определите напряженность поля в центре полукольца. Найдите потенциал в центре полукольца

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика (электрическое поле, потенциал, распределение заряда)

Условие задачи:

По тонкому полукольцу радиусом R равномерно распределён положительный заряд Q.

Найти:

1. Напряжённость электрического поля в центре полукольца.
2. Электрический потенциал в центре полукольца.

Решение:

Обозначим:

• Центр полукольца — точка O.
• Полукольцо лежит в плоскости, например, в плоскости XY, и занимает верхнюю половину окружности (от \theta = 0 до \theta = \pi).
• Радиус полукольца — R.
• Заряд распределён равномерно, т.е. линейная плотность заряда \lambda = \dfrac{Q}{\pi R} (так как длина полукольца — \pi R).

1. Напряжённость поля в центре полукольца

Рассмотрим элементарный участок дуги длиной dl = R d\theta, содержащий заряд dq = \lambda dl = \lambda R d\theta.

Элементарное электрическое поле от dq в центре направлено по радиусу от элемента дуги. Разложим это поле на компоненты по осям X и Y.

Пусть элемент расположен под углом \theta к оси X. Тогда:

• Компонента по X: dE_x = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{dq}{R^2} \cdot \cos\theta
• Компонента по Y: dE_y = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{dq}{R^2} \cdot \sin\theta

Подставим dq = \lambda R d\theta:

 dE_x = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{\lambda R d\theta}{R^2} \cdot \cos\theta = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \cos\theta d\theta 

 dE_y = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \sin\theta d\theta 

Теперь интегрируем по всей дуге от \theta = 0 до \theta = \pi:

По оси X:

 E_x = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \int_0^\pi \cos\theta d\theta = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} [\sin\theta]_0^\pi = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (0 - 0) = 0 

По оси Y:

 E_y = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \int_0^\pi \sin\theta d\theta = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} [-\cos\theta]_0^\pi = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (-(-1) + 1) = \dfrac{2\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} 

Таким образом, напряжённость поля в центре направлена вдоль оси Y вверх и равна:

 \vec{E} = \dfrac{2\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \hat{y} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} \hat{y} 

Подставим \lambda = \dfrac{Q}{\pi R}:

 \vec{E} = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \hat{y} 

Ответ 1:

\vec{E} = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \hat{y}

2. Потенциал в центре полукольца

Потенциал — скалярная величина. Потенциал от точечного заряда dq на расстоянии R:

 d\varphi = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{dq}{R} 

Интегрируем по всей дуге:

 \varphi = \int d\varphi = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} Q 

(так как весь заряд Q находится на расстоянии R от центра)

Ответ 2:

\varphi = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}

Итоговые ответы:

1. Напряжённость поля в центре полукольца: \vec{E} = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \hat{y}

2. Потенциал в центре полукольца: \varphi = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}