Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
5. По тонкому полукольцу радиусом R равномерно распределен положительный заряд Q. - Определите напряженность поля в центре полукольца. - Найдите потенциал в центре полукольца.
Предмет: Физика
Раздел: Электростатика (электрическое поле, потенциал, распределение заряда)
По тонкому полукольцу радиусом R равномерно распределён положительный заряд Q.
Найти:
Обозначим:
Рассмотрим элементарный участок дуги длиной dl = R d\theta, содержащий заряд dq = \lambda dl = \lambda R d\theta.
Элементарное электрическое поле от dq в центре направлено по радиусу от элемента дуги. Разложим это поле на компоненты по осям X и Y.
Пусть элемент расположен под углом \theta к оси X. Тогда:
Подставим dq = \lambda R d\theta:
dE_x = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{\lambda R d\theta}{R^2} \cdot \cos\theta = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \cos\theta d\theta
dE_y = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \sin\theta d\theta
Теперь интегрируем по всей дуге от \theta = 0 до \theta = \pi:
E_x = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \int_0^\pi \cos\theta d\theta = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} [\sin\theta]_0^\pi = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (0 - 0) = 0
E_y = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \int_0^\pi \sin\theta d\theta = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} [-\cos\theta]_0^\pi = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (-(-1) + 1) = \dfrac{2\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}
Таким образом, напряжённость поля в центре направлена вдоль оси Y вверх и равна:
\vec{E} = \dfrac{2\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} \hat{y} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} \hat{y}
Подставим \lambda = \dfrac{Q}{\pi R}:
\vec{E} = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \hat{y}
\vec{E} = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \hat{y}
Потенциал — скалярная величина. Потенциал от точечного заряда dq на расстоянии R:
d\varphi = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{dq}{R}
Интегрируем по всей дуге:
\varphi = \int d\varphi = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} Q
(так как весь заряд Q находится на расстоянии R от центра)
\varphi = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}
Напряжённость поля в центре полукольца: \vec{E} = \dfrac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2} \hat{y}
Потенциал в центре полукольца: \varphi = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}