Определить силу, действующую на стержень, если он равномерно заряжен с линейной плотностью

Предмет: Физика

Раздел: Электростатика

Условие задачи:

Длинная тонкая нить равномерно заряжена с линейной плотностью заряда $\text{(}\tau =400\text{нКл/м}\text{)}$. В одной плоскости с нитью перпендикулярно к ней расположен тонкий стержень длиной $\text{(}l=0,2\text{м}\text{)}$. Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии $\text{(}{x}_0=5\text{см}\text{)}$. Определить силу, действующую на стержень, если он равномерно заряжен с линейной плотностью $\text{(}{\tau }_1=10\text{нКл/м}\text{)}$.

Решение:

1. Определяем силу взаимодействия между нитью и стержнем:

   Будем использовать закон Кулона и выражение для электростатической силы между равномерно заряженными объектами. На каждый элемент длины $\text{(}dx\text{)}$ стержня со стороны нити действует сила, которая зависит от расстояния до элемента нити. Стержень и нить находятся в одной плоскости, и сила будет действовать вдоль линии, соединяющей элемент нити с элементом стержня.

2. Выбираем систему координат:

   Пусть нить лежит вдоль оси $\text{(}Oy\text{)}$, а стержень — вдоль оси $\text{(}Ox\text{)}$, при этом ближайшая точка стержня находится на расстоянии $\text{(}{x}_0=0,05\text{м}\text{)}$ от нити.

3. Элемент силы, действующий на элемент длины $\text{(}dx\text{)}$ стержня:

   Элемент длины стержня имеет заряд $\text{(}d{q}_1={\tau }_{1}dx\text{)}$. Каждый элемент длины нити (заряженной с линейной плотностью $\text{(}\tau \text{)}$) на расстоянии $\text{(}x\text{)}$ от нити взаимодействует с элементом стержня с силой Кулона:

   $\text{[}dF=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{dq\cdot d{q}_1}{r^2}\text{]}$

   где:

   • $\text{(}{\epsilon }_0\text{)}$ — электрическая постоянная ($\text{(}\mathrm{8,854}\cdot {10}^{-12}\text{Ф/м}\text{)}$),
   • $\text{(}r\text{)}$ — расстояние между элементом нити и стержня: $\text{(}r=x_0\text{)}$.

   Подставим значения:

   $\text{[}dF=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{\tau \cdot dy\cdot {\tau }_1\cdot dx}{r^2}\text{]}$

   Но сила вдоль направления $\text{(}Oy\text{)}$ будет интегрироваться с учетом всей длины стержня от $\text{(}{x}_0\text{)}$ до $\text{(}{x}_0+l\text{)}$.

4. Интегрируем для всей длины стержня:

   $\text{[}F=2\cdot \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot {\int }_{x_0}^{x_0+l}\frac{\tau \cdot {\tau }_1}{x^2}\cdot dx\text{]}$

5. Выполним интегрирование:

   Решим интеграл:

   $\text{[}{\int }_{x_0}^{x_0+l}\frac{dx}{x^2}={[-\frac{1}{x}]}_{x_0}^{x_0+l}=-\frac{1}{x_0+l}+\frac{1}{x_0}\text{]}$

   Тогда общая сила:

   $\text{[}F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{2\tau {\tau }_1}{x_0}\cdot (1-\frac{x_0}{x_0+l})\text{]}$

6. Подставляем числовые значения:

   $\text{[}\tau =400\cdot {10}^{-9}\text{Кл/м},{\tau }_1=10\cdot {10}^{-9}\text{Кл/м},x_0=0,05\text{м},l=0,2\text{м}\text{]}$

   $\text{[}{\epsilon }_0=\mathrm{8,854}\cdot {10}^{-12}\text{Ф/м}\text{]}$

   Вычисляем силу:

   $\text{[}F=\frac{1}{4\pi \cdot \mathrm{8,854}\cdot {10}^{-12}}\cdot \frac{2\cdot 400\cdot {10}^{-9}\cdot 10\cdot {10}^{-9}}{0,05}\cdot (1-\frac{0,05}{0,05+0,2})\text{]}$

Ответ:

Сила, действующая на стержень, составляет примерно $\text{(}\mathrm{5,763}\cdot {10}^{-5}\text{Н}\text{)}$.

$\text{[}F\approx \mathrm{5,763}\cdot {10}^{-5}\text{Н}\text{]}$