Определить силу, действующую на стержень, если он равномерно заряжен с линейной плотностью

Предмет: Физика

Раздел: Электростатика

Условие задачи:

Длинная тонкая нить равномерно заряжена с линейной плотностью заряда \(\tau = 400 \, \text{нКл/м}\). В одной плоскости с нитью перпендикулярно к ней расположен тонкий стержень длиной \(l = 0{,}2 \, \text{м}\). Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии \(x_0 = 5 \, \text{см}\). Определить силу, действующую на стержень, если он равномерно заряжен с линейной плотностью \(\tau_1 = 10 \, \text{нКл/м}\).

Решение:

1. Определяем силу взаимодействия между нитью и стержнем:

   Будем использовать закон Кулона и выражение для электростатической силы между равномерно заряженными объектами. На каждый элемент длины \(dx\) стержня со стороны нити действует сила, которая зависит от расстояния до элемента нити. Стержень и нить находятся в одной плоскости, и сила будет действовать вдоль линии, соединяющей элемент нити с элементом стержня.

2. Выбираем систему координат:

   Пусть нить лежит вдоль оси \(Oy\), а стержень — вдоль оси \(Ox\), при этом ближайшая точка стержня находится на расстоянии \(x_0 = 0{,}05 \, \text{м}\) от нити.

3. Элемент силы, действующий на элемент длины \(dx\) стержня:

   Элемент длины стержня имеет заряд \(dq_1 = \tau_1 dx\). Каждый элемент длины нити (заряженной с линейной плотностью \(\tau\)) на расстоянии \(x\) от нити взаимодействует с элементом стержня с силой Кулона:

   \[ dF = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq \cdot dq_1}{r^2} \]

   где:

   • \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная (\(8{,}854 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м}\)),
   • \(r\) — расстояние между элементом нити и стержня: \(r = x_0\).

   Подставим значения:

   \[ dF = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\tau \cdot dy \cdot \tau_1 \cdot dx}{r^2} \]

   Но сила вдоль направления \(Oy\) будет интегрироваться с учетом всей длины стержня от \(x_0\) до \(x_0 + l\).

4. Интегрируем для всей длины стержня:

   \[ F = 2 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \int_{x_0}^{x_0 + l} \frac{\tau \cdot \tau_1}{x^2} \cdot dx \]

5. Выполним интегрирование:

   Решим интеграл:

   \[ \int_{x_0}^{x_0 + l} \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{x_0}^{x_0 + l} = - \frac{1}{x_0 + l} + \frac{1}{x_0} \]

   Тогда общая сила:

   \[ F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2 \tau \tau_1}{x_0} \cdot \left( 1 - \frac{x_0}{x_0 + l} \right) \]

6. Подставляем числовые значения:

   \[ \tau = 400 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл/м}, \quad \tau_1 = 10 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл/м}, \quad x_0 = 0{,}05 \, \text{м}, \quad l = 0{,}2 \, \text{м} \]

   \[ \varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \]

   Вычисляем силу:

   \[ F = \frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}} \cdot \frac{2 \cdot 400 \cdot 10^{-9} \cdot 10 \cdot 10^{-9}}{0{,}05} \cdot \left( 1 - \frac{0{,}05}{0{,}05 + 0{,}2} \right) \]

Ответ:

Сила, действующая на стержень, составляет примерно \(5{,}763 \cdot 10^{-5} \, \text{Н}\).

\[ F \approx 5{,}763 \cdot 10^{-5} \, \text{Н} \]