Определить разность потенциалов между двумя точками внутри равномерно заряженного шара

Это задание относится к разделу электростатики в физике. Нужно определить разность потенциалов между двумя точками внутри равномерно заряженного шара. Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться законом Гаусса и формулой для напряженности электрического поля внутри сферически симметричного заряда.

1. Вычислим напряженность поля внутри шара на расстоянии r от центра.

Для r < R:

\[ E(r) = \frac{\rho \cdot r}{3 \cdot \varepsilon_0} \]

где:

• \(\rho = 20 \, \text{нКл/м³} = 20 \times 10^{-9} \, \text{Кл/м³}\) — объемная плотность,
• \(\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\) — электрическая постоянная.

2. Теперь найдем напряженность электрического поля в точках на расстояниях

r₁ = 2 \, \text{см} = 0.02 \, \text{м} и r₂ = 8 \, \text{см} = 0.08 \, \text{м}:

E(r₁) = \(\frac{20 \times 10^{-9} \cdot 0.02}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}}\)

E(r₁) ≈ 0.15026 \, \text{Н/Кл}

E(r₂) = \(\frac{20 \times 10^{-9} \cdot 0.08}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}}\)

E(r₂) ≈ 0.60104 \, \text{Н/Кл}

3. Разность потенциалов между двумя точками внутри шара можем найти, интегрируя напряженность электрического поля:

\[ \Delta V = V(r_2) - V(r_1) = - \int_{r_1}^{r_2} E(r) \, dr \]

4. Подставляем напряженность и интегрируем:

\[ \Delta V = - \int_{0.02}^{0.08} \frac{20 \times 10^{-9} \cdot r}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} \, dr \]

Вычислим интеграл:

\[ \Delta V = - \frac{20 \times 10^{-9}}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} \cdot \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0.02}^{0.08} \]

\[ \Delta V = - \frac{20 \times 10^{-9}}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} \cdot \left(\frac{0.08^2}{2} - \frac{0.02^2}{2}\right) \]

\[ \Delta V = - \frac{20 \times 10^{-9}}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} \cdot \left(0.0032 - 0.0002\right) \]

\[ \Delta V = - \frac{20 \times 10^{-9}}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} \cdot 0.003 \]

\[ \Delta V ≈ - 0.226 \, \text{В} \]

Вывод:

Таким образом, разность потенциалов между точками на расстояниях 2 см и 8 см от центра шара равна примерно -0.226 \, \text{В}.