Определить разность потенциалов между двумя точками внутри равномерно заряженного шара

Это задание относится к разделу электростатики в физике. Нужно определить разность потенциалов между двумя точками внутри равномерно заряженного шара. Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться законом Гаусса и формулой для напряженности электрического поля внутри сферически симметричного заряда.

1. Вычислим напряженность поля внутри шара на расстоянии r от центра.

Для $r<R$:

$\text{[}E(r)=\frac{\rho \cdot r}{3\cdot {\epsilon }_0}\text{]}$

где:

• $\text{(}\rho =20\text{нКл/м³}=20\times {10}^{-9}\text{Кл/м³}\text{)}$ — объемная плотность,
• $\text{(}{\epsilon }_0\approx 8.85\times {10}^{-12}\text{Ф/м}\text{)}$ — электрическая постоянная.

2. Теперь найдем напряженность электрического поля в точках на расстояниях

$r₁=2\text{см}=0.02\text{м}$ и $r₂=8\text{см}=0.08\text{м}:$

$E(r₁)=\text{(}\frac{20\times {10}^{-9}\cdot 0.02}{3\times 8.85\times {10}^{-12}}\text{)}$

$E(r₁)\approx 0.15026\text{Н/Кл}$

$E(r₂)=\text{(}\frac{20\times {10}^{-9}\cdot 0.08}{3\times 8.85\times {10}^{-12}}\text{)}$

$E(r₂)\approx 0.60104\text{Н/Кл}$

3. Разность потенциалов между двумя точками внутри шара можем найти, интегрируя напряженность электрического поля:

$\text{[}\mathrm{\Delta }V=V(r_2)-V(r_1)=-{\int }_{r_1}^{r_2}E(r)dr\text{]}$

4. Подставляем напряженность и интегрируем:

$\text{[}\mathrm{\Delta }V=-{\int }_{0.02}^{0.08}\frac{20\times {10}^{-9}\cdot r}{3\times 8.85\times {10}^{-12}}dr\text{]}$

Вычислим интеграл:

$\text{[}\mathrm{\Delta }V=-\frac{20\times {10}^{-9}}{3\times 8.85\times {10}^{-12}}\cdot {\left[\frac{r^2}{2}\right]}_{0.02}^{0.08}\text{]}$

$\text{[}\mathrm{\Delta }V=-\frac{20\times {10}^{-9}}{3\times 8.85\times {10}^{-12}}\cdot (\frac{{0.08}^2}{2}-\frac{{0.02}^2}{2})\text{]}$

$\text{[}\mathrm{\Delta }V=-\frac{20\times {10}^{-9}}{3\times 8.85\times {10}^{-12}}\cdot (0.0032-0.0002)\text{]}$

$\text{[}\mathrm{\Delta }V=-\frac{20\times {10}^{-9}}{3\times 8.85\times {10}^{-12}}\cdot 0.003\text{]}$

$\text{[}\mathrm{\Delta }V\approx -0.226\text{В}\text{]}$

Вывод:

Таким образом, разность потенциалов между точками на расстояниях 2 см и 8 см от центра шара равна примерно $-0.226\text{В}$.