Определить напряженность поля и падения потенциала в каждом слое. Определить плотность энергии поля

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика

Дано:

• Толщина слоя стекла: d_1 = 1 см = 0.01 м
• Толщина слоя парафина: d_2 = 2 см = 0.02 м
• Разность потенциалов: U = 300 В
• Диэлектрическая проницаемость стекла: \varepsilon_1 \approx 7
• Диэлектрическая проницаемость парафина: \varepsilon_2 \approx 2.2

Решение:

Электрическое поле в каждом слое определяется законом сохранения потока электрического смещения:
 D = \varepsilon_0 \varepsilon_1 E_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_2 E_2 
где D — электрическое смещение (оно одинаково в обоих слоях), \varepsilon_0 — диэлектрическая постоянная вакуума, E_1 и E_2 — напряженности электрического поля в стекле и парафине соответственно.

Так как напряжение распределяется по слоям, то:
 U = U_1 + U_2 
где U_1 и U_2 — падения потенциала в стекле и парафине, соответственно.

Используем формулы связи напряженности и напряжения:
 U_1 = E_1 d_1, \quad U_2 = E_2 d_2 

Подставляя выражения для напряженностей через электрическое смещение:
 E_1 = \frac{D}{\varepsilon_0 \varepsilon_1}, \quad E_2 = \frac{D}{\varepsilon_0 \varepsilon_2} 

Так как D одинаково в обоих слоях, выразим общее напряжение:
 U = \frac{D}{\varepsilon_0} \left(\frac{d_1}{\varepsilon_1} + \frac{d_2}{\varepsilon_2} \right) 

Выразим D:
 D = \frac{\varepsilon_0 U}{\frac{d_1}{\varepsilon_1} + \frac{d_2}{\varepsilon_2}} 

Теперь найдем напряженности:
 E_1 = \frac{U}{\frac{d_1}{\varepsilon_1} + \frac{d_2}{\varepsilon_2}} \cdot \frac{1}{\varepsilon_1 d_1} 

 E_2 = \frac{U}{\frac{d_1}{\varepsilon_1} + \frac{d_2}{\varepsilon_2}} \cdot \frac{1}{\varepsilon_2 d_2} 

Подставим числовые значения:
 E_1 = \frac{300}{\frac{0.01}{7} + \frac{0.02}{2.2}} = \frac{300}{\frac{0.01}{7} + \frac{0.02}{2.2}} = \frac{300}{0.00143 + 0.00909} = \frac{300}{0.01052} \approx 28514 \text{ В/м} 

 E_2 = E_1 \cdot \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = 28514 \cdot \frac{7}{2.2} \approx 90614 \text{ В/м} 

Теперь найдем падения потенциала:
 U_1 = E_1 d_1 = 28514 \times 0.01 = 285.14 \text{ В} 

 U_2 = E_2 d_2 = 90614 \times 0.02 = 181.23 \text{ В} 

Плотность энергии электрического поля выражается формулой:
 w = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon E^2}{2} 

Для стекла:
 w_1 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 7 \times (28514)^2}{2} \approx 2.86 \times 10^{-3} \text{ Дж/м}^3 

Для парафина:
 w_2 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 2.2 \times (90614)^2}{2} \approx 8.87 \times 10^{-3} \text{ Дж/м}^3 

Ответ:

1. Напряженность в стекле: E_1 \approx 28514 В/м
2. Напряженность в парафине: E_2 \approx 90614 В/м
3. Падение потенциала в стекле: U_1 \approx 285.14 В
4. Падение потенциала в парафине: U_2 \approx 181.23 В
5. Плотность энергии в стекле: w_1 \approx 2.86 \times 10^{-3} Дж/м³
6. Плотность энергии в парафине: w_2 \approx 8.87 \times 10^{-3} Дж/м³