Определить напряженность электростатического поля

Условие:

Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м3. Определите напряженность электростатического поля

Решение:

Это задание относится к предмету "Физика", раздел "Электростатика". Для решения задачи определим напряженность электростатического поля \( \mathbf{E} \) в разных точках: 1. **Внутри шара (r < R)** 2. **На поверхности шара (r = R)** 3. **Вне шара (r > R)** Воспользуемся теоремой Гаусса: \[ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{внутри}}}{\epsilon_0} \] где \( \epsilon_0 \) — электрическая постоянная, \( Q_{\text{внутри}} \) — заряд, находящийся внутри воображаемой гауссовой поверхности. 1. **Внутри шара (r < R)** Выразим заряд внутри шара радиуса \( r \): \[ Q_{\text{внутри}} = \rho \cdot V_{\text{внутри}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \] Так как все заряды распределены симметрично, поле в каждой точке внутри шара будет направлено радиально, и граничная поверхность для потока тоже будет шаром радиуса r: \[ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E(r) \cdot 4 \pi r^2 \] Тогда уравнение Гаусса станет: \[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0} \] Упростим это уравнение: \[ E(r) = \frac{\rho \cdot r}{3 \epsilon_0} \] Подставим числовые значения (ρ = 10 нКл/м³ = 10 \cdot 10^{-9} Кл/м³): \[ E(r) = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot r}{3 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \] \[ E(r) = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot r}{26.55 \cdot 10^{-12}} \] \[ E(r) = \frac{10 \cdot r}{26.55} \] \[ E(r) \approx 0.377 \cdot r \] 2. **На поверхности шара (r = R)** Подставим \( r = R = 0.1 м \): \[ E(R) = 0.377 \cdot 0.1 \] \[ E(R) \approx 37.7 \text{ В/м} \] 3. **Вне шара (r > R)** Здесь весь заряд \( Q \) сосредоточен в центре шара, поэтому: \[ Q = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \] \[ Q = 10 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{4}{3} \pi (0.1)^3 \] \[ Q = 10 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 10^{-3} \] \[ Q = 10 \cdot 10^{-9} \cdot (4.19 \cdot 10^{-3}) \] \[ Q = 41.9 \cdot 10^{-12} \] Теперь уравнение Гаусса выглядит так: \[ E(r) \cdot 4 \π r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \] \[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{41.9 \cdot 10^{-12}}{8.85 \cdot 10^{-12}} \] \[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = 4.74 \] \[ E(r) = \frac{4.74}{4 \pi r^2} \] \[ E(r) = \frac{4.74}{12.566 \cdot r^2} \] \[ E(r) = \frac{0.377}{r^2} \] Итак: - Внутри шара: \( \mathbf{E}(r) = 0.377 \cdot r \) - На поверхности шара: \( \mathbf{E}(R) \approx 37.7 \text{ В/м} \) - Вне шара: \( \mathbf{E}(r) = \frac{0.377}{r^2} \)