Определить напряженность электростатического поля

Это задание относится к предмету "Физика", раздел "Электростатика".

Для решения задачи определим напряженность электростатического поля $\text{(}\mathbf{E}\text{)}$ в разных точках:

1. Внутри шара (r < R)
2. На поверхности шара (r = R)
3. Вне шара (r > R)

Воспользуемся теоремой Гаусса:

$\text{[}\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{внутри}}}{{ϵ}_0}\text{]}$

где $\text{(}{ϵ}_0\text{)}$ — электрическая постоянная, $\text{(}{Q}_{\text{внутри}}\text{)}$ — заряд, находящийся внутри воображаемой гауссовой поверхности.

1. Внутри шара (r < R)

Выразим заряд внутри шара радиуса $\text{(}r\text{)}$:

$\text{[}{Q}_{\text{внутри}}=\rho \cdot V_{\text{внутри}}=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\text{]}$

Так как все заряды распределены симметрично, поле в каждой точке внутри шара будет направлено радиально, и граничная поверхность для потока тоже будет шаром радиуса r:

$\text{[}\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2\text{]}$

Тогда уравнение Гаусса станет:

$\text{[}E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{{ϵ}_0}\text{]}$

Упростим это уравнение:

$\text{[}E(r)=\frac{\rho \cdot r}{3{ϵ}_0}\text{]}$

Подставим числовые значения (ρ = 10 нКл/м³ = 10 \(\cdot\) 10⁻⁹ Кл/м³):

$\text{[}E(r)=\frac{10\cdot {10}^{-9}\cdot r}{3\cdot 8.85\cdot {10}^{-12}}\text{]}$

$\text{[}E(r)=\frac{10\cdot r}{26.55}\text{]}$

$\text{[}E(r)=0.377\cdot r\text{]}$

2. На поверхности шара (r = R)

Подставим $\text{(}r=R=0.1м\text{)}$:

$\text{[}E(R)=0.377\cdot 0.1\text{]}$

$\text{[}E(R)\approx 37.7\text{ В/м}\text{]}$

3. Вне шара (r > R)

Здесь весь заряд $\text{(}Q\text{)}$ сосредоточен в центре шара, поэтому:

$\text{[}Q=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3\text{]}$

$\text{[}Q=10\cdot {10}^{-9}\cdot \frac{4}{3}\pi (0.1{)}^3\text{]}$

$\text{[}Q=41.9\cdot {10}^{-12}\text{]}$

Теперь уравнение Гаусса выглядит так:

$\text{[}E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{{ϵ}_0}\text{]}$

$\text{[}E(r)\cdot 4\pi r^2=4.74\text{]}$

$\text{[}E(r)=\frac{4.74}{4\pi r^2}\text{]}$

$\text{[}E(r)=\frac{0.377}{r^2}\text{]}$

Итак:

• Внутри шара: $\text{(}\mathbf{E}(r)=0.377\cdot r\text{)}$
• На поверхности шара: $\text{(}\mathbf{E}(R)\approx 37.7\text{ В/м}\text{)}$
• Вне шара: $\text{(}\mathbf{E}(r)=\frac{0.377}{r^2}\text{)}$