Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м3. Определите напряженность электростатического поля
Для решения задачи определим напряженность электростатического поля \( \mathbf{E} \) в разных точках:
Воспользуемся теоремой Гаусса:
\[ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{внутри}}}{\epsilon_0} \]
где \( \epsilon_0 \) — электрическая постоянная, \( Q_{\text{внутри}} \) — заряд, находящийся внутри воображаемой гауссовой поверхности.
Выразим заряд внутри шара радиуса \( r \):
\[ Q_{\text{внутри}} = \rho \cdot V_{\text{внутри}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Так как все заряды распределены симметрично, поле в каждой точке внутри шара будет направлено радиально, и граничная поверхность для потока тоже будет шаром радиуса r:
\[ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E(r) \cdot 4 \pi r^2 \]
Тогда уравнение Гаусса станет:
\[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0} \]
Упростим это уравнение:
\[ E(r) = \frac{\rho \cdot r}{3 \epsilon_0} \]
Подставим числовые значения (ρ = 10 нКл/м³ = 10 \(\cdot\) 10−9 Кл/м³):
\[ E(r) = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot r}{3 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \]
\[ E(r) = \frac{10 \cdot r}{26.55} \]
\[ E(r) = 0.377 \cdot r \]
Подставим \( r = R = 0.1 м \):
\[ E(R) = 0.377 \cdot 0.1 \]
\[ E(R) \approx 37.7 \text{ В/м} \]
Здесь весь заряд \( Q \) сосредоточен в центре шара, поэтому:
\[ Q = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \]
\[ Q = 10 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{4}{3} \pi (0.1)^3 \]
\[ Q = 41.9 \cdot 10^{-12} \]
Теперь уравнение Гаусса выглядит так:
\[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \]
\[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = 4.74 \]
\[ E(r) = \frac{4.74}{4 \pi r^2} \]
\[ E(r) = \frac{0.377}{r^2} \]
Итак: